Turán-type inequalities for generalized k-Bessel functions

Hanaa M. Zayed

doi:10.3842/umzh.v76i2.7375

Hanaa M. Zayed Department of Mathematics and Computer Science, Faculty of Science, Menoufia University, Egypt

DOI: https://doi.org/10.3842/umzh.v76i2.7375

Анотація

УДК 517.5

Нерівності типу Турана для узагальнених k-функцій Бесселя

Запропоновано підхід до вивчення узагальненої $\rm{k}$-функції Бесселя, що визначена рівністю $$\rm{U}_{p,q,r}^{\rm{k}}(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-r)^{n}}{\Gamma_{\rm{k}}\left(n\rm{k}+p+\dfrac{q+1}{2}\rm{k}\right)n!}\left(\dfrac{z}{2}\right) ^{2n+\frac{p}{\rm{k}}},$$ де $\rm{k}>0$ і $p,q,r\in\mathbb{C}$. Ми обговорюємо рівномірну збіжність $\rm{U}_{p, q, r}^{\rm {k}}(z). $ Крім того, доведено, що дана функція є цілою, і визначено порядок її зростання і тип. І навіть більше, знайдено її факторизацію Веєрштрасса у вигляді нескінченного добутку, рівномірно збіжного в компактній підмножині комплексної площини. Інтегральне зображення для $\rm{U}_{p, q, r}^{\rm{k}}(z) $ знайдено за допомогою зображення для $\rm{k}$-бета-функцій. Також доведено, що вказана функція є розв'язком диференціального рівняння другого порядку, яке узагальнює певні відомі диференціальні рівняння для класичних функцій Бесселя. І навіть більше, продемонстровано деякі цікаві властивості, такі як рекурентність, та диференціальні співвідношення. Деякі з цих властивостей можуть бути корисними при встановленні певних нерівностей туранівського типу для цієї функції. Зрештою, ми також вивчаємо монотонність та log-опуклість нормалізованої форми модифікованої \textrm{k}-функції Бесселя $\rm{T}_{p,q,1}^{\rm{k}}(z)=i^{-\frac{p}{k}}\rm{U}_{p,q,1}^{\rm{k}}(iz)$, а також частку модифікованої \textrm{k}-функції Бесселя, експоненціальної та \textrm{k}-гіпергеометричної функцій. У цьому випадку основна ідея доведення базується на монотонності відношення двох степеневих рядів.

Посилання

M. Abramowitz, I. A. Stegun, Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables, New York (1965). DOI: https://doi.org/10.1063/1.3047921

P. Agarwal, M. Chand, G. Singh, Certain fractional kinetic equations involving the product of generalized $k$-Bessel function, Alex. Eng. J., 55, № 4, 3053–3059 (2016). DOI: https://doi.org/10.1016/j.aej.2016.07.025

P. Agarwal, M. Chand, J. Choi, G. Singh, Certain fractional integrals and image formulas of generalized $k$-Bessel function, Commun. Korean Math. Soc., 33, № 2, 423–436 (2018).

P. Agarwal, S. K. Ntouyas, S. Jain, M. Chand, G. Singh, Fractional kinetic equations involving generalized $k$-Bessel function via Sumudu transform, Alex. Eng. J., 57, 1937–1942 (2018). DOI: https://doi.org/10.1016/j.aej.2017.03.046

İ. Aktaş, On monotonic and logarithmic concavity properties of generalized $k$-Bessel function, Hacet. J. Math. and Stat., 50, № 1, 180–187 (2021). DOI: https://doi.org/10.15672/hujms.621072

R. Askey, H. Pollard, Some absolutely monotonic and completely monotonic functions, SIAM J. Math. Anal., 5, 58–63 (1974). DOI: https://doi.org/10.1137/0505008

á. Baricz, Geometric properties of generalized Bessel functions, Publ. Math. Debrecen, 73, 155–178 (2008). DOI: https://doi.org/10.5486/PMD.2008.4126

á. Baricz, Bounds for modified Bessel functions of the first and second kinds, Proc. Edinb. Math. Soc., 53, 575–599 (2010). DOI: https://doi.org/10.1017/S0013091508001016

R. W. Barnard, M. B. Gordy, K. C. Richards, A note on Turán type and mean inequalities for the Kummer function, J. Math. Anal. and Appl., 349, № 1, 259–263 (2009). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2008.08.024

M. Biernacki, J. Krzyż, On the monotonity of certain functionals in the theory of analytic function, Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska Sect. A, 9, 135–147 (1957).

F. Black, J. Cox, Valuing corporate securities: some effects of bond indenture provisions, J. Finance, 31, № 2, 351–367 (1976). DOI: https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1976.tb01891.x

M. Carey, M. B. Gordy, The bank as grim reaper: debt composition and recoveries on defaulted debt, Preprint (2007).

R. Diaz, C. Teruel, rm{q, k}-Generalized gamma and beta functions, J. Nonlinear Math. Phys., 12, 118–134 (2005). DOI: https://doi.org/10.2991/jnmp.2005.12.1.10

R. Diaz, E. Pariguan, On hypergeometric functions and Pochhammer $k$-symbol, Divulg. Mat., 15, 179–192 (2007).

R. Diaz, C. Ortiz, E. Pariguan, On the $k$-gamma $q$-distribution, Cent. Eur. J. Math., 8, 448–458 (2010). DOI: https://doi.org/10.2478/s11533-010-0029-0

C. Efthimiou, Introduction to functional equations: theory and problem–solving strategies for mathematical competitions and beyond, MSRI (2011).

K. S. Gehlot, Differential equation of $k$-Bessel's function and its properties, Nonlinear Anal., Different. Equat., 2, № 2, 61–67 (2014). DOI: https://doi.org/10.12988/nade.2014.3821

K. S. Gehlot, Recurrence relations of $k$-Bessel's function, Thai J. Math., 14, 677–685 (2016).

K. S. Gehlot, S. D. Purohit, Integral representations of the $k$-Bessel's function, Honam Math. J., 38, 17–23 (2016). DOI: https://doi.org/10.5831/HMJ.2016.38.1.17

M. E. Gurtin, Topics infinite elasticity, CBMS-NSF Regional Conference, Ser. Appl. Math., SIAM, Philadelphia (1981).

E. J. Hinch, G. Schubert, Strong streaming induced by a moving thermal wave, J. Fluid Mech., 47, № 2, 291–304 (1971). DOI: https://doi.org/10.1017/S002211207100106X

W. Hoppe, W. Lohmann, H. Markl, H. Zeigler (eds.), Biophysics, Springer-Verlag, Berlin (1983). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-68877-5

B. Ya. Levin, Lectures on entire functions, Transl. Math. Monogr., vol. 150, Amer. Math. Soc. (1996). DOI: https://doi.org/10.1090/mmono/150

R. J. Mceliece, B. Reznick, J. B. Shearer, A Turán inequality arising in information theory, SIAM J. Math. Anal., 12, № 6, 931–934 (1981). DOI: https://doi.org/10.1137/0512078

R. C. Merton, On the pricing of corporate debt: the risk structure of interest rates, J. Finance, 29, № 2, 449–470 (1974). DOI: https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1974.tb03058.x

S. R. Mondal, M. S. Akel, Differential equation and inequalities of the generalized $k$-Bessel functions, J. Inequal. and Appl., 2018, № 14, Article 175 (2018). DOI: https://doi.org/10.1186/s13660-018-1772-1

G. Rizzoni, Fundamentals of electrical engineering, McGraw-Hill (2009).

H.-J. Runckel, Zeros of entire functions, Trans. Amer. Math. Soc., 143, 343–362 (1969). DOI: https://doi.org/10.2307/1995253

G. Singh, P. Agarwal, M. Chand, S. Jain, Certain fractional kinetic equations involving generalized $k$-Bessel function, Trans. A. Razmadze Math. Inst., 172, 559–570 (2018). DOI: https://doi.org/10.1016/j.trmi.2018.03.001

G. Szegö, On an inequality of P. Turán concerning Legendre polynomials, Bull. Amer. Math. Soc., 54, 401–405 (1948). DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1948-09017-6

E. Toklu, Radii of starlikeness and convexity of generalized Struve functions, Hacet. J. Math. and Stat., 49, № 4, 1216–1233 (2020). DOI: https://doi.org/10.15672/hujms.518154

P. Turán, On the zeros of the polynomials of Legendre, Căsopis Pest. Mat. Fys., 75, 113–122 (1950). DOI: https://doi.org/10.21136/CPMF.1950.123879

H. Waalkens, J. Wiersig, H. R. Dullin, Elliptic quantum billiard, Ann. Phys., 260, 50–90 (1997). DOI: https://doi.org/10.1006/aphy.1997.5715

G. N. Watson, A treatise on the theory of Bessel functions, Cambridge Univ. Press, Cambridge (1966).

H. M. Zayed, On generalized Bessel–Maitland function, Adv. Difference Equat., 2021, 432 (2021); https://doi.org/10.1186/ s13662-021-03577-5.