Weakly periodic ground states for the λ-model

  • Farrukh M. Mukhamedov Department of Mathematical Sciences, College of Science, The United Arab Emirates University, Al Ain, UAE
  • Muzaffar M. Rahmatullaev Namangan State University https://orcid.org/0000-0003-2987-7714
  • M. A. Rasulova Namangan State University

Abstract

For the $\lambda$-model on a Cayley tree of order $k\geq2,$ we describe a set of periodic and weakly periodic ground states that correspond to normal divisors of index 2 of the group representation of the Cayley tree.

References

Sinaĭ, Ja. G. Теория фазовых переходов. Строгие результаты. (Russian) [Theory of phase transitions. Rigorous results] "Nauka", Moscow, 1980. 208 pp.

Georgii, Hans-Otto. Gibbs measures and phase transitions. De Gruyter Studies in Mathematics, 9. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1988. {rm xiv}+525 pp. ISBN: 0-89925-462-4 https://www.amazon.com/dp/B00EOMZNLG/ref=dp-kindle-redirect?_encoding=UTF8&btkr=1

Minlos, R. A. Introduction to mathematical statistical physics. University Lecture Series, 19. American Mathematical Society, Providence, RI, 2000. viii+103 pp. ISBN: 0-8218-1337-4 https://bookstore.ams.org/ulect-19

Rozikov, Utkir A. Gibbs measures on Cayley trees. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2013. xviii+385 pp. ISBN: 978-981-4513-37-1 https://doi.org/10.1142/8841

Potts, R. B. Some generalized order-disorder transformations. Proc. Cambridge Philos. Soc. 48 (1952), 106–109. https://doi.org/10.1017/S0305004100027419

Wu, F. Y. The Potts model. Rev. Modern Phys. 54 (1982), no. 1, 235–268. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.54.235

Rozikov, U. A.; Rahmatullaev, M. M. Слабо периодические основные состояния и меры Гиббса для модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями на дереве Кэли. (Russian) [Slabo periodicheskie osnovnye sostojanija i mery Gibbsa dlja modeli Izinga s konkurirujushhimi vzaimodejstvijami na dereve Kjeli], Теор. и мат. физика [Teor. i mat. fizika], 160 (2009), no. 3, 507–516. https://doi.org/10.4213/tmf6412

Rahmatullaev, M. M. Description of weak periodic ground states of Ising model with competing interactions on Cayley tree. Appl. Math. Inf. Sci. 4 (2010), no. 2, 237–251. http://www.naturalspublishing.com/Article.asp?ArtcID=61

Rozikov, U. A.; Rahmatullaev, M. M. Описание слабо периодических мер Гиббса модели Изинга на дереве Кэли. (Russian) [Opisanie slabo periodicheskih mer Gibbsa modeli Izinga na dereve Kjeli]. Теор. и мат. физика [Teor. i mat. fizika], 156 (2008), no. 2, 292–302. https://doi.org/10.4213/tmf6248

Botirov, G. I.; Rozikov, U. A. Модель Поттса с конкурирующими взаимодействиями на дереве Кэли: контурный метод. (Russian) [Model' Pottsa s konkurirujushhimi vzaimodejstvijami na dereve Kjeli: konturnyj metod]. Теор. и мат. физика [Teor. i mat. fizika], 153 (2007), no. 1, 86–97. https://doi.org/10.4213/tmf6123

Ganihodzhaev, N. N.; Rozikov, U. A. Описание периодических крайних гиббсовских мер некоторых решеточных моделей на дереве Кэли. (Russian) [Opisanie periodicheskih krajnih gibbsovskih mer nekotoryh reshetochnyh modelej na dereve Kjeli]. Теор. и мат. физика [Teor. i mat. fizika], 111 (1997), no. 1, 109–117. https://doi.org/10.4213/tmf993

Rozikov, U. A. Структуры разбиений на классы смежности группового представления дерева Кэли по нормальным делителям конечного индекса и их применения для описания периодических распределений Гиббса. (Russian) [Struktury razbienij na klassy smezhnosti gruppovogo predstavlenija dereva Kjeli po normal'nym deliteljam konechnogo indeksa i ih primenenija dlja opisanija periodicheskih raspredelenij Gibbsa]. Теор. и мат. физика [Teor. i mat. fizika], 112 (1997), no. 1, 170–176. https://doi.org/10.4213/tmf1037

Rahmatullaev, M. M. Слабо периодические меры Гиббса и основные состояния для модели Поттса с конкурирующими взаимодействиями на дереве Кэли. (Russian) [Slabo periodicheskie mery Gibbsa i osnovnye sostojanija dlja modeli Pottsa s konkurirujushhimi vzaimodejstvijami na dereve Kjeli]. Теор. и мат. физика [Teor. i mat. fizika], 176 (2013), no. 3, 477–493. https://doi.org/10.4213/tmf8530

Rozikov, U. A.; Rahmatullaev, M. M. О свободных энергиях модели Поттса на дереве Кэли. (Russian) [O svobodnyh jenergijah modeli Pottsa na dereve Kjeli]. Теор. и мат. физика [Teor. i mat. fizika], 190 (2017), no. 1, 112–123. https://doi.org/10.4213/tmf9061

Rahmatullaev, M. M. Слабо периодическая мера Гиббса для ферромагнитной модели Поттса на дереве Кэли. (Russian) [Slabo periodicheskaja mera Gibbsa dlja ferromagnitnoj modeli Pottsa na dereve Kjeli. Сиб. мат. журн. [Sib. mat. zhurn.], 56 (2015), no. 5, 1163–1170. https://doi.org/10.4213/tmf8647

Muhamedova, F. M.; Pah, Ch.; Dzhamil', H. Основные состояния и фазовые переходы λ-модели на дереве Кэли. (Russian) [Osnovnye sostojanija i fazovye perehody λ-modeli na dereve Kjeli]. Теор. и мат. физика [Teor. i mat. fizika], 194 (2018), no. 2, 304–319. https://doi.org/10.4213/tmf9309

Rozikov, U. A. Описание предельных гиббсовских мер для λ-моделей на решетках Бете. (Russian) [Opisanie predel'nyh gibbsovskih mer dlja λ-modelej na reshetkah Bete]. Сиб. мат. журн. [Sib. mat. zhurn.], 39, no. 2, 427–435 (1998).

Mukhamedov, Farruh. On a factor associated with the unordered phase of λ-model on a Cayley tree. Rep. Math. Phys. 53 (2004), no. 1, 1–18. https://doi.org/10.1016/S0034-4877(04)90001-8

Mukhamedov, Farrukh; Rozikov, Utkir; Mendes, José F. F. On contour arguments for the three state Potts model with competing interactions on a semi-infinite Cayley tree. J. Math. Phys. 48 (2007), no. 1, 013301, 14 pp. https://doi.org/10.1063/1.2408398

S. Kissеl, C. Kulske, U. A. Rozikov, Hard-core and soft-core Widom–Rowlinson models on Cayley trees, J. Stat. Mech. (2019). https://doi.org/10.1088/1742-5468/ab081e

Ganikhodjaev, N. N.; Mukhamedov, F. M.; Mendes, J. F. F. On the three state Potts model with competing interactions on the Bethe lattice. J. Stat. Mech., 2006, Article 8012 (2006). https://doi.org/10.1088/1742-5468/2006/08/p08012

Rasulova, M. A.; Rakhmatullaev, M. M. Periodic and weakly periodic ground states for the Potts model with competing interactions in a Cayley tree. (Russian); translated from Mat. Tr. 18 (2015), no. 2, 112–132 Siberian Adv. Math. 26 (2016), no. 3, 215–229 https://doi.org/10.3103/s1055134416030056

Published
29.04.2020
How to Cite
MukhamedovF. M., RahmatullaevM. M., and RasulovaM. A. “Weakly Periodic Ground States for the λ-Model”. Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal, Vol. 72, no. 5, Apr. 2020, pp. 667–678, doi:10.37863/umzh.v72i5.1095.
Section
Research articles