Finite groups with $\Bbb P$-subnormal Sylow subgroup

Abstract

UDC 512.542


Let $\Bbb P$ be the set of all primes.
A subgroup $H$ of a finite group $G$ is called $\Bbb P$-subnormal, if either $H = G$ or there exists a chain of subgroups $H = H_0\le H_1\le \ldots \le H_n = G$ such that $|H_i\colon H_{i-1}|\in \Bbb P,$ $1\le i\le n.$
We prove that any finite group with a $\Bbb P$-subnormal Sylow $p$-subgroup of odd order is $p$-solvability and any group with $\Bbb P$-subnormal generalized Schmidt subgroups is metanilpotent.

 

References

V. S. Monakhov, Введение в теорию конечных групп и их классов (Russian) [[Vvedenie v teoriyu konechny`kh grupp i ikh klassov]], Vy`she`jsh. shk., Minsk (2006).

B. Huppert, Endliche Gruppen I, (German) Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 134 Springer-Verlag, Berlin-New York (1967).

A. F. Vasil`ev, T. I. Vasil`eva, V. N. Tyutyanov, О конечных группах сверхразрешимого типа(Russian) [[O konechny`kh gruppakh sverkhrazreshimogo tipa]], Sib. mat. zhurn., 51, № 6, 1270 – 1281 (2010).

V. N. Kniahina, V. S. Monakhov, Finite groups with $P$-subnormal subgroups, Ric. Mat., 62, № 2, 307 – 322 (2013), https://doi.org/10.1007/s11587-013-0153-9

V. N. Kniahina, V. S. Monakhov, On supersolvability of finite groups with $P$ -subnormal subgroups, Int. J. Group Theory, 2, № 4, 21 – 29 (2013).

V. S. Monakhov, Конечные группы с абнормальными и $U$ -субнормальными подгруппами(Russian) [[Konechny`e gruppy` s abnormal`ny`mi i $U$ -subnormal`ny`mi podgruppami]], Sib. mat. zhurn., 57, № 2, 447 – 462 (2016).

V. N. Tyutyanov, Конечные группы с $P$ -субнормальными подгруппами Шмидта, (Russian) [[Konechny`e gruppy` s $P$ -subnormal`ny`mi podgruppami Shmidta]], Problemy` fiziki, matematiki i tekhniki, № 1(22), 88 – 91 (2015).

P. J. Cameron, R. Solomon, Chains of subgroups in symmetric groups, J. Algebra, 127, № 2, 340 – 352 (1989), https://doi.org/10.1016/0021-8693(89)90256-1

N. F. Kuzenny`j, S. S. Levishhenko, Конечные группы Шмидта и их обобщения(Russian) [[Konechny`e gruppy` Shmidta i ikh obobshheniya]], Ukr. mat. zhurn., 43, № 7-8, 963 – 968 (1991).

V. S. Monakhov, Подгруппы Шмидта, их существование и некоторые приложения(Russian) [[Podgruppy` Shmidta, ikh sushhestvovanie i nekotory`e prilozheniya]], Ukr. mat. kongr.: sb. tr., In-t matematiki NAN Ukrainy`, Kiev (2002), c. 81 – 90.

Y. G. Berkovich, Z. Janko, Groups of prime power order, Vol. 3, Walter de Gruyter (2011), https://doi.org/10.1515/9783110208238.512

V. N. Knyagina, V. S. Monakhov, E. V. Zubej, О разрешимости конечной группы с $S$-полунормальными подгруппами Шмидта(Russian) [[O razreshimosti konechnoj gruppy` s $S$-polunormal`ny`mi podgruppami Shmidta]], Ukr. mat. zhurn., 70, № 11, 1511 – 1518 (2018).

D. Gorenstein, Finite simple groups. An introduction to their classification, Plenum Publ. Corp., New York (1982).

J. H. Conway, Atlas of finite groups, Clarendon, London (1985).

V. S. Monakhov, О конечных группах с заданным набором подгрупп Шмидта(Russian) [[O konechny`kh gruppakh s zadanny`m naborom podgrupp Shmidta]], Mat. zametki, 58, № 5, 717 – 722 (1995).

V. S. Monakhov, О группах с формационно субнормальными 2-максимальными подгруппами(Russian) [[O gruppakh s formaczionno subnormal`ny`mi 2-maksimal`ny`mi podgruppami]], Mat. zametki, 105, № 2, 269 – 277 (2019)

Published
25.10.2020
How to Cite
Kniahina V. N., and Monakhov V. S. “Finite Groups With $\Bbb P$-Subnormal Sylow Subgroup”. Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal, Vol. 72, no. 10, Oct. 2020, pp. 1365 -71, doi:10.37863/umzh.v72i10.2264.
Section
Research articles