The derived $p$-length of a $p$-solvable group with bounded indices of Fitting $p$-subgroups in its normal closures
Abstract
UDC 512.542
Let $G$ be a $p$-soluble group. Then $G$ has a subnormal series whose factors are $p^{\prime}$-groups or abelian $p$-groups. The smallest number of abelian $p$-factors of all such subnormal series of~$G$ is called the derived $p$-length of $G.$ A subgroup $H$ of a group $G$ is called Fitting if $H\leq F (G) .$ A functional dependence of the estimate of the derived $p$-length of a $p$-soluble group on the value of the indexes of Fitting $p$-subgroups in its normal closures is established.
References
V. S. Monakhov, Введение в теорию конечных групп и их классов (Russian) Vvedenie v teoriyu konechny`kh grupp i ikh klassov,Vy`she`jsh. shk., Minsk (2006).
Huppert, B. Endliche Gruppen. I. (German) Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 134 Springer-Verlag, Berlin-New York 1967 {rm xii}+793 pp. MR0224703 DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-64981-3
M. S. Monakhov, Конечные группы с полунормальной холловой подгруппой (Russian) Konechny`e gruppy` s polunormal`noj khollovoj podgruppoj, Mat. zametki, 80, No 4, 573 – 581(2006).
D. V. Griczuk, V. S. Monakhov, O. A. Shpy`rko, О производной $pi$-длине $pi$-разрешимой группы (Russian) O proizvodnoj $pi$ -dline $pi$-razreshimoj gruppy`, Vestn. Belorus. gos. un-ta. Ser. 1, No 3, 90 – 95 (2012).
D. V. Griczuk, V. S. Monakhov, О разрешимых группах, силовские подгруппы которых абелевы или экстраспециальны (Russian) O razreshimy`kh gruppakh, silovskie podgruppy` kotory`kh abelevy` ili e`kstraspe-czial`ny`,Trudy` In-ta matematiki NAN Belarusi,20, No 2, 3 – 9 (2012).
D. V. Griczuk, V. S. Monakhov, , O. A. Shpy`rko, О конечныхpi-разрешимых группах с бициклическими силовскими подгруппами (Russian) O konechny`khpi-razreshimy`kh gruppakh s bicziklicheskimi silovskimipodgruppami,Problemy` fiziki, matematiki i tekhniki,15, No 1, 61 – 66 (2013).
D. V. Griczuk, Производная $pi$-длина $pi$-разрешимой группы, силовские $p$-подгруппы которой либо бициклические, либо имеют порядок $p^3$ (Russian)Proizvodnaya $pi$-dlina $pi$-razreshimoj gruppy`, silovskie $p$-podgruppy` kotoroj libo bicziklicheskie, libo imeyut poryadok $p^3$ Problemy` fiziki, matematiki i tekhniki,19, No 2, 54 – 58 (2014).
D. V. Griczuk, Зависимость производной $p$-длины $p$-разрешимой группы от порядка ее силовской $p$-подгруппы (Russian) Zavisimost` proizvodnoj $p$-dliny $`p$-razreshimoj gruppy` ot poryadka ee silovskoj $p$-podgruppy`, Problemy` fiziki, matematiki i tekhniki,20, No 3, 58 – 60 (2014).
Gaschütz, Wolfgang. Existenz und Konjugiertsein von Untergruppen, die in endlichen auflösbaren Gruppen durch gewisse Indexschranken definiert sind. (German) J. Algebra 53 (1978), no. 2, 389--394. doi: 10.1016/0021-8693(78)90283-1
V. S. Monakhov, К теореме Хупперта–Шеметкова (Russian) K teoreme Khupperta–Shemetkova,
Trudy` In-ta matematiki NAN Belarusi,16, No 1, 64 – 66 (2008).
A. A. Trofimuk, Производная длина конечных групп с ограничениями на силовские подгруппы (Russian) Proizvodnaya dlina konechny`kh grupp s ogranicheniyami na silovskie podgruppy`,Mat. zametki, No 87, 287 – 293 (2010).
A. A. Trofimuk, Конечные группы с бициклическими силовскими подгруппами в фиттинговых факторах (Russian) Konechny`e gruppy` s bicziklicheskimi silovskimi podgruppami v fittingovy`kh faktorakh,Trudy` In-ta matematiki i mekhaniki UrO RAN,19 No 3, 304 – 307 (2013).
Trofimuk, Alexander. Solvable groups with restrictions on Sylow subgroups of the Fitting subgroup. Asian-Eur. J. Math. 9 (2016), no. 2, 1650037, 6 pp. doi: 10.1142/S1793557116500376
A. A. Trofimuk, О фиттинговых подгруппах конечной разрешимой группы (Russian) O fittingovy`kh podgruppakh konechnoj razreshimoj gruppy`,Trudy` In-ta matematiki i mekha-niki UrO RAN,18, No 3, 242 – 246 (2012).
Monakhov, Victor; Trofimuk, Alexander. Invariants of finite solvable groups. Algebra Discrete Math. 14 (2012), no. 1, 107--131. MR3052324
Huppert, Bertram. Normalteiler und maximale Untergruppen endlicher Gruppen. (German) Math. Z. 60 (1954), 409--434. doi: 10.1007/BF01187387
Baer, Reinhold. Supersoluble immersion. Canadian J. Math. 11 (1959), 353--369. doi: 10.4153/CJM-1959-036-2
Ya. G. Berkovich, О разрешимых группах конечного порядка (Russian) O razreshimy`kh gruppakh konechnogo poryadka,Mat. sb.,74(116), No 1, 75 – 92 (1967).
Robinson, Derek J. S. A course in the theory of groups. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 80. Springer-Verlag, New York, 1996. {rm xviii}+499 pp. ISBN: 0-387-94461-3 doi: 10.1007/978-1-4419-8594-1
Guo, Wenbin. The theory of classes of groups. Translated from the 1997 Chinese original. Mathematics and its Applications, 505. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht; Science Press Beijing, Beijing, 2000. xii+258 pp. ISBN: 0-7923-6268-3; 7-03-007475-0 MR1862683
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
