On finite factorized groups with $\mathbb TX$-subnormal subgroups

  • V. S. Monakhov Gomel. University named after F. Skoryny, Belarus
  • A. A. Trofimuk Brest. state University of O. S. Pushkin, Belarus
Keywords: ?

Abstract

UDC 512.542

Let $\mathbb T$ be a subset of the set of all natural numbers satisfying the condition \begin{gather}\text{if}\,\, t\in\mathbb{T},\,\, \text{then}\,\, \mathbb{T}\,\, \text{contains all natural divisors of}\quad t.\tag{A}\end{gather} Recall that a subgroup $H$ is called a {\it $\mathbb T$-subnormal} in $G$ if either $H=G,$ or there is a chain of subgroups $H=H_0 \le H_1 \le \ldots \le H_n = G$ such that $|H_i\colon H_{i-1}| \in \mathbb T$ for all $i.$ Let $X$ be a normal subgroup of a group $G$ and let $\Bbb T$ be a set of natural numbers satisfying condition (A). We introduce the following definition: A subgroup $H$ of the group $G$ is called a {\it $\mathbb TX$-subnormal} subgroup if $H$ is $\mathbb T$-subnormal in $HX.$ Moreover, we study factorizable groups $G = AB$ with $\mathbb TX$-subnormal factors $A$ and $B$. Under certain additional restrictions imposed on $A,$ $B,$ $\mathbb T,$ and $X,$ we obtain new sufficient conditions for the partial solubility and supersolubility of the analyzed groups $G$.

References

В. С. Монахов, Введение в теорию конечных групп и их классов, Вышэйш. шк., Минск (2006).

А. Ф. Васильев, Т. И. Васильева, В. Н. Тютянов, О конечных группах сверхразрешимого типа, Сиб. мат. журн., 51, № 6, 1270 – 1281 (2010).

V. S. Monakhov, V. N. Kniahina, Finite group with $mathbb P$-subnormal subgroups, Ric. Mat., 62, № 2, 307 – 323 (2013). DOI: https://doi.org/10.1007/s11587-013-0153-9

V. S. Monakhov, V. N. Kniahina, Finite groups with given indices of 2-maximal subgroups, J. Algebra and Appl., 15, № 7, Article 1650123 (2016). DOI: https://doi.org/10.1142/S0219498816501231

А. Ф. Васильев, Т. И. Васильева, В. Н. Тютянов, О произведениях $mathbb P$-субнормальных подгрупп в конечных группах, Сиб. мат. журн., 53, № 1, 59 – 67 (2012).

В. Н. Княгина, В. С. Монахов, Конечные факторизуемые группы с разрешимыми $mathbb P^2$-субнормальными подгруппами, Сиб. мат. журн., 54, № 1, 77 – 85 (2013).

В. Н. Тютянов, В. Н. Княгина, Факторизации конечных групп $r$-разрешимыми подгруппами с заданными вложениями, Укр. мат. журн., 55, № 10, 1431 – 1435 (2014).

V. S. Monakhov, A. A. Trofimuk, On the residual of a factorized group with widely supersoluble factors, Commun. Algebra, 48, № 12, 5290 – 5295 (2020). DOI: https://doi.org/10.1080/00927872.2020.1786580

V. S. Monakhov, A. A. Trofimuk, On the supersoluble residual of a product of supersoluble subgroups, Adv. Group Theory and Appl., 9, 1 – 20 (2020).

В. И. Мурашко, А. Ф. Васильев, О произведениях частично субнормальных подгрупп конечных групп, Весн. ВДУ, 70, № 4, 24 – 27 (2012).

А. Ф. Васильев, В. И. Мурашко, Формации и произведения $F(G)$-субнормальных подгрупп конечных разрешимых групп, Мат. заметки, 107, № 3, 376 – 390 (2020). DOI: https://doi.org/10.4213/mzm12190

The GAP group: GAP~--- groups, algorithms, and programming. Ver. GAP 4.11.0 [Electronic resource]: A system for computational discrete algebra, Mode of access: https://www.gap-system.org, Date of Access: 29.02.2020.

В. С. Монахов, И. К. Чирик, О $p$-сверхразрешимом корадикале произведения нормальных $p$-сверхразрешимых подгрупп, Тр. Ин-та математики, 23, № 2, 88 – 96 (2015).

A. N. Skiba, On weakly s-permutable subgroups of finite groups, J.~Algebra, 315, 192 – 209 (2007). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2007.04.025

В. С. Монахов, И. К. Чирик, Конечные группы, факторизуемые субнормальными сверхразрешимыми подгруппами, Проблемы физики, математики и техники, 28, № 3, 40 – 46 (2016).

А. Ф. Васильев, Т. И. Васильева, К. Л. Парфенков, Конечные группы с тремя заданными подгруппами, Сиб. мат. журн., 59, № 1, 65 – 77 (2018).

H. Wielandt, "Uber die Normalstruktur mehrfach faktorisierter Gruppen, J. Austr. Math. Soc.,1, 143 – 146 (1959). DOI: https://doi.org/10.1017/S1446788700025520

H. Kegel, Zur Struktur mehrfach faktorisierter endlicher Gruppen, Math. Z., 87, 42 – 48 (1965). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01109929

Published
27.11.2022
How to Cite
MonakhovV. S., and TrofimukA. A. “On Finite Factorized Groups With $\mathbb TX$-Subnormal Subgroups”. Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal, Vol. 74, no. 10, Nov. 2022, pp. 1356 -3, doi:10.37863/umzh.v74i10.6673.
Section
Research articles