Kolmogorov widths of the Nikol’skii – Besov classes of periodic functions of many variables in the space of quasi-continuous functions
Abstract
UDC 517.51
We obtain the order estimates of $M$-dimensional Kolmogorov width for the Nikol’skii – Besov classes with dominating mixed derivative of periodic functions of many variables in the metric of the space of quasi-continuous functions (QC-space).
References
A. S. Romanyuk, Entropy numbers and widths for the Nikol’skii–Besov classes of functions of many variables in the space $L_∞$, Anal. Math., 45, № 1, 133–151 (2019).
А. С. Романюк, Энтропийные числа и поперечники классов $B^r_{p,θ}$ периодических функций многих переменных [Entropy numbers and widths for the classes $B^r_{p,θ}$ of periodic functions of many variables], Укр. мат. журн., 68, № 10, 1403–1417 (2016).
А. С. Романюк, Оценки энтропийных чисел и колмогоровских поперечников классов Никольського–Бесова периодических функций многих переменных [Estimates of the entropy numbers and Kolmogorov widths for the Nikol'skyi--Besov classes of periodic functions of many variables], Укр. мат. журн., 67, № 11, 1540–1556 (2015).
В. Н. Темляков, Приближение функций с ограниченной смешанной производной [Approximation of functions with bounded mixed derivative], Тр. Мат. ин-та АН СССР, 178, 1–112 (1986).
П. И. Лизоркин, С. М. Никольский, Пространства функций смешанной гладкости с декомпозиционной точки зрения [Function spaces of mixed smoothness from the decomposition point of view], Тр. Мат. ин-та АН СССР, 187, 143–161 (1989).
С. М. Никольский, Функции с доминирующей смешанной производной, удовлетворяющей кратному условию Гельдера [Functions with dominant mixed derivative, satisfying a multiple Hölder condition], Сиб. мат. журн., 4, № 6, 1342–1364 (1963).
Т. И. Аманов, Теоремы представления и вложения для функциональных пространств $S^{(r)}_{p,θ}B(R_n)$ и $S^{(r)_*}_{p,θ}B$ $(0≤ x_j≤ 2π;$ $j=1,…,n)$ [Representation and imbedding theorems for function spaces $S^{(r)}_{p,θ}B(R_n)$ и $S^{(r)_*}_{p,θ}B$ $(0≤ x_j≤ 2π;$ $j=1,…,n)$)], Тр. Мат. ин-та АН СССР, 77, 5–34 (1965).
О. В. Бесов, Исследование одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и продолжения [Investigation of one family of functional spaces in connection with the embedding and continuation theorems], Тр. Мат. ин-та АН СССР, 60, 42–81 (1961).
С. М. Никольский, Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференцируемых функций многих переменных [Inequalities for entire functions of finite power and their application to the theory of differentiable functions of many variables], Тр. Мат. ин-та АН СССР, 38, 244–278 (1951).
A. Kolmogoroff, Über die beste Annäherung von Funktionen einer gegebenen Funktionenklasse, Ann. Math., 37, 107–111 (1936).
Э. М. Галеев, Поперечники классов Бесова $B^{r}_{p,θ}(T^d)$, Мат. заметки, 69, № 5, 656–665 (2001).
А. С. Романюк, К вопросу об оценках колмогоровских поперечников классов $B^{r}_{p,θ}$ в пространстве $L_q$, Укр. мат. журн., 53, № 7, 996–1001 (2001).
А. С. Романюк, Колмогоровские поперечники классов Бесова $B^{r}_{p,θ}$ в метрике пространства $L_∞$, Укр. мат. вісн., 2, № 2, 201–218 (2005).
А. С. Романюк, Колмогоровские и тригонометрические поперечники классов Бесова $B^{r}_{p,θ}$ периодических функций многих переменных, Мат. сб., 197, № 1, 71–96 (2006).
А. С. Романюк, Колмогоровські поперечники і білінійні наближення класів періодичних функцій однієї та багатьох змінних, Укр. мат. журн., 70, № 2, 224–235 (2018).
А. С. Романюк, В. С. Романюк, Апроксимаційні характеристики класів періодичних функцій багатьох змінних у просторі $B_{∞,1}$ [Approximating characteristics of the classes of periodic multivariate functions in the space $B_{∞,1}$], Укр. мат. журн., 71, № 2, 271–282 (2019).
А. С. Романюк, В. С. Романюк, Оцінки деяких апроксимаційних характеристик класів періодичних функцій однієї та багатьох змінних [Estimation of some approximating characteristics of the classes of periodic functions of one and many variables], Укр. мат. журн., 71, № 8, 1102–1115 (2019).
А. С. Романюк, В. С. Романюк, Апроксимаційні характеристики і властивості операторів найкращого наближення класів функцій з просторів Соболєва та Нікольського–Бєсова [Approximative characteristics and properties of operators of the best approximation of classes of functions from the Sobolev and Nikol'skyi–Besov spaces], Укр. мат. вісн., 17, № 3, 372–395 (2020).
А. С. Романюк, С. Я. Янченко, Оцінки апроксимаційних характеристик і властивості операторів найкращого наближення класів періодичних функцій у просторі $B_{1,1}$ [Estimates of approximation characteristics and properties of operators of the best approximation for the classes of periodic functions in the space $B_{1,1}$], Укр. мат. журн., 73, № 8, 1102–1119 (2021).
D. D {u}ng, V. N. Temlyakov, T. Ullrich, Hyperbolic cross approximation, Adv. Courses Math., CRM Barselona, Birkhäuser (2018).
А. С. Романюк, Аппроксимативные характеристики классов периодических функций многих переменных [Approximating Characteristics of the Classes of Periodic Functions of Many Variables], Праці Ін-ту математики НАН України, 93, (2012).
V. N. Temlyakov, Approximation of periodic function, Nova Sci. Publ., Inc., New York (1993).
Б. С. Кашин, А. А. Саакян, Ортогональные ряды [Orthogonal Series], Наука, Москва (1984).
Б. С. Кашин, В. Н. Темляков, Об одной норме и связанных с ней приложениях, Мат. заметки, 64, № 4, 637–640 (1998).
Б. С. Кашин, В. Н. Темляков, Об одной норме и аппроксимационных характеристиках классов функций многих переменных, Метрическая теория функций и смежные вопросы анализа, АФЦ, Москва (1999), с. 69–99.
А. О. Радомский, О неэквивалентности $C$- и $QC$-норм в пространстве тригонометрических полиномов, Мат. сб., 207, № 12, 1729–1742 (2016).
А. О. Радомский, Некоторые тригонометрические полиномы с экстремально малой равномерной нормой и их приложения, Изв. РАН. Сер. мат., 84, № 2, 166–196 (2020).
А. Н. Колмогоров, В. M. Тихомиров, $ε$-Энтропия и $ε$-емкость множеств в функциональных пространствах, Успехи мат. наук, 14, № 2, 3–86 (1959).
K. Höllig, Diameters of classes of smooth functions, Quant. Approxim., Acad. Press, New York (1980), p. 163–176.
E. S. Belinskii, Approximation of functions of several variables by trigonometric polinomials with given number of harmonics, and estimates of $ε$-entropy, Anal. Math., 15, 67–74 (1989).
E. S. Belinskii, Estimates of entropy numbers and Gaussian measures for classes of functions with bounded mixed derivative, J. Approx. Theory, 93, 114–127 (1998).
Б. С. Кашин, В. Н. Темляков, О наилучших $m$-членных приближениях и энтропии множеств в пространстве $L_1$, Мат. заметки, 56, № 5, 57–86 (1994).
В. Н. Темляков, Оценки асимптотических характеристик классов функций с ограниченной смешанной производной или разностью, Труды Мат. ин-та АН СССР, 189, 138–168 (1989).
V. N. Temlyakov, An inequality for trigonometric polynomials and its application for estimating the entropy numbers, J. Complexity, 11, 293–307 (1995).
V. N. Temlyakov, An inequality for the entropy numbers and its application, J. Approx. Theory, 173, 110–121 (2013).
V. N. Temlyakov, On the entropy numbers of the mixed smoothness function classes, J. Approx. Theory, 217, 26–56 (2017).
К. В. Пожарська, Оцінки ентропійних чисел класів $B^{Ω}_{p,θ}$ періодичних функцій багатьох змінних у рівномірній метриці [Estimates for the entropy numbers of the classes $B^{Ω}_{p,θ}$ of periodic multivariable functions in the uniform metric], Укр. мат. журн., 70, № 9, 1249–1263 (2019).
V. N. Temlyakov, Multivariate approximation, Cambridge Univ. Press, Cambridge (2018).
R. M. Trigub, E. S. Belinsky, Fourier analysis and approximation of functions, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht (2004).
G. Pisier, The volume of convex bodies and Banach space geometry, Cambridge Univ. Press, Cambridge (1989).
A. S. Romanyuk, S. Ya. Yanchenko, Estimates for the entropy numbers of the Nikol'skii–Besov classes of functions with mixed smoothness in the space of quasi-continuous functions, Math. Nachr. (accepted); mana.202100202.
Г. Г. Харди, Дж. Е. Литтльвуд, Г. Полиa, Неравенства, Изд-во иностр. лит., Москва (1948).
Copyright (c) 2022 Сергій Янченко, Анатолій Романюк
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
