Approximation of classes of periodic functions in one and many variables from the Nikol’skii – Besov and Sobolev spaces
Abstract
UDC 517.51
In this paper, we obtain exact-order estimates for the best orthogonal trigonometric approximations of the Nikol'skii-Besov classes $B^{\boldsymbol{r}}_{1,\theta}(\mathbb{T}^d),$ $1\leq\theta\leq\infty,$ of periodic functions of one and many variables with dominating mixed smoothness in the space $B_{\infty,1}(\mathbb{T}^d)$.
In the multidimensional case, $d\geq 2,$ we establish exact-order estimates for approximations of the mentioned classes of functions by their step-hyperbolic Fourier sums and find the orthoprojection width orders in the same space.
The behavior of corresponding approximation characteristics of the Sobolev classes $W^{\boldsymbol{r}}_{1,\boldsymbol{\alpha}}\left(\mathbb{T}^d\right)$ for $d\in\{1,2\}$ is also studied.
References
E. S. Belinsky, Estimates of entropy numbers and Gaussian measures for classes of functions with bounded mixed derivative, J. Approx. Theory, 93, 114 – 127 (1998), https://doi.org/10.1006/jath.1997.3157 DOI: https://doi.org/10.1006/jath.1997.3157
A. S. Romanyuk, V. S. Romanyuk,, Апроксимацiйнi характеристики класiв перiодичних функцiй багатьох змiнних у просторi $B_{∞ ,1}$ [Approximating characteristics of the classes of periodic multivariate functions in the space $B_{∞,1}$], Ukr. Mat. Zh., 71, № 2, 271 – 282 (2019).
A. S. Romanyuk, V. S. Romanyuk,, Оцiнки деяких апроксимацiйних характеристик класiв перiодичних функцiй однiєї та багатьох змiнних [Estimation of some approximating characteristics of the classes of periodic functions of one and many variables], Ukr. Mat. Zh., 71, № 8, 1102 – 1115 (2019).
M. V. Hembarskyi, S. B. Hembarska, K. V. Solich, The best approximations and widths of the classes of periodical functions of one and several variables in the space $B_{∞ ,1}$ , Mat. Stud., 51, № 1, 74 – 85 (2019), https://doi.org/10.15330/ms.51.1.74-85 DOI: https://doi.org/10.15330/ms.51.1.74-85
A. S. Romanyuk, V. S. Romanyuk,, Апроксимацiйнi характеристики i властивостi операторiв найкращого наближення класiв функцiй з просторiв Соболєва та Нiкольського – Бєсова [Approximative characteristics and properties of operators of the best approximation of classes of functions from the Sobolev and Nikol’skii-–Besov spaces], Ukr. Math. Bulletin, 17, № 3, 372 – 395 (2020). DOI: https://doi.org/10.37069/1810-3200-2020-17-3-5
T. I. Amanov, Теоремы представления и вложения для функциональных пространств $S^{(r)}_{p, θ}B(R_n)$ и $S^{(r)_*}_{p, θ}B$, ($0 ≤ x_j ≤ 2pi$; $j = 1,...,n$) [Representation and imbedding theorems for function spaces $S^{(r)}_{p, θ}B(R_n)$ and $S^{(r)_*}_{p, θ}B$, ($0 ≤ x_j ≤ 2pi$; $j = 1,...,n$)}], Tr. Mat. Inst. Steklova, 77, 5 – 34 (1965).
P. I. Lizorkin, S. M. Nikol'skii, Пространства функций смешанной гладкости с композиционной точки зрения [Function spaces of mixed smoothness from the decomposition point of view], Tr. Mat. Inst. Steklova, 187, 143 – 161 (1989).
E. S. Belinskii, Приближение „плавающей” системой экспонент на классах периодических функций с ограниченной смешанной производной, Исследования по теории функций многих вещественных переменных [Approximation by a ''floating'' system of exponents on the classes of periodic functions with bounded mixed derivative}, in: Investigations into the Theory of Functions of Many Real Variables], Ярослав. ун-т, Ярославль (1988), с. 16 – 33.
A. S. Romanyuk, Приближение классов функций многих переменных их ортогональными проекциями на подпространства тригонометрических полиномов [Approximation of classes of functions of many variables by their orthogonal projections onto subspaces of trigonometric polynomials], Ukr. Mat. Zh., 48, № 1, 80 – 89 (1996). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02390986
A. S. Romanyuk,Приближение классов периодических функций многих переменных [Approximation for classes of periodic functions of several variables], Mat. Zametki, 71, № 1, 109 – 121 (2002). DOI: https://doi.org/10.4213/mzm332
A. S. Romanyuk, Билинейные и тригонометрические приближения классов Бесова $B^r_{p, θ}$ периодических функций многих переменных [Bilinear and trigonometric approximations of the Besov classes $B^r_{p, θ}$ of periodic functions of many variables], Izv. Ros. Akad. Nauk, Ser. Mat., 70, № 2, 69 – 98 (2006). DOI: https://doi.org/10.4213/im558
A. S. Romanyuk, Наилучшие тригонометрические приближения классов периодических функций многих переменных в равномерной метрике [ Best trigonometric approximations of classes of periodic functions of many variables in a uniform metric], Mat. Zametki, 82, № 2, 247 – 261 (2007). DOI: https://doi.org/10.4213/mzm3797
A. S. Romanyuk, Аппроксимативные характеристики классов периодических функций многих переменных [Approximating Characteristics of the Classes of Periodic Functions of Many Variables], National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 93 (2012).
V. N. Temlyakov, Приближение функций с ограниченной смешанной производной [Approximation of functions with bounded mixed derivative], Tr. Mat. Inst. Steklova, 178, 1 – 112 (1986).
V. N. Temlyakov, Approximation of periodic function [Approximation of periodic function], Nova Sci. Publ., Inc., New York (1993).
Dinh Dung, Приближение функций многих переменных на торе тригонометрическими полиномами [The approximation of functions of many variables on a torus by trigonometric polynomials], Matem. Sbornik 131(173), № 2, 251 – 271 (1986).
A. S. Romanyuk, Приближение классов Бесова периодических функций многих переменных в пространстве $L_q$ [Approximation of the Besov classes of periodic functions of several variables in a space ], Ukr. Mat. Zh., 43, № 10, 1398 – 1408 (1991).
A. S. Romanyuk, Приближение классов $B^r_{p,θ}$ периодических функций многих переменных линейными методами и наилучшие приближения [Approximation of the classes $B^r_{p, θ}$ of periodic functions of many variables by linear methods and the best approximations], Matem. Sbornik, 195, № 2, 91 – 116 (2004). DOI: https://doi.org/10.4213/sm801
V. N. Temlyakov, Поперечники некоторых классов функций нескольких переменных [The widths of some classes of functions of several variables], Dokl. AN SSSR 267, № 2, 314 – 317 (1982).
V. N. Temlyakov, Оценки асимптотических характеристик классов функций с ограниченной смешанной производной или разностью [Estimates for the asymptotic characteristics of classes of functions with bounded mixed derivative or difference], Trudy Mat. Inst. Akad. Nauk SSSR, 189, 138 – 168 (1989).
A. V. Andrianov, V. N. Temlyakov, О двух методах распространения свойств систем функций от одной переменной на их тензорное произведение [On two methods of expansion of properties of systems of functions of one variable into their tensor product], Trudy Mat. Inst. RAN,219, 32 – 43 (1997).
E. M. Galeev, Приближение классов периодических функций нескольких переменных ядерными операторами [Approximation of classes of periodic functions of several variables by operators of the trace class], Mat. Zametki, 47, № 3, 32 – 41 (1990).
A. S. Romanyuk, Наилучшие приближения и поперечники классов периодических функций многих переменных [Best approximations and widths of classes of periodic functions of several variables], Matem. Sbornik, 199, № 2, 93 – 114 (2008). DOI: https://doi.org/10.4213/sm3685
A. S. Romanyuk, Поперечники и наилучшее приближение классов $B^r_{p, θ}$ периодических функций многих переменных [Widths and the best approximation of the classes $B^r_{p, θ}$ of periodic functions of many variables], Anal. Math., 37, 181 – 213 (2011). DOI: https://doi.org/10.1007/s10476-011-0303-9
D. B. Bazarkhanov, Оценки поперечников Фурье классов типа Никольского – Бесова и Лизоркина – Трибеля периодических функций многих переменных [stimates of the Fourier widths of classes of the Nikol’skii–Besov and Lizorkin–Triebel types of periodic functions of many variables], Mat. Zametki, 87, № 2, 305 – 308 (2010). DOI: https://doi.org/10.4213/mzm8592
D. B. Bazarkhanov, Приближение всплесками и поперечники Фурье классов периодических функций многих переменных. II [The approximation by splashes and the Fourier widths of classes of periodic functions of many variables. II], Anal. Math., 38, № 4, 249 – 289 (2012). DOI: https://doi.org/10.1007/s10476-012-0401-3
A. S. Romanyuk, Оценки аппроксимативных характеристик классов Бесова $B^r_{p, θ}$ периодических функций многих переменных в прострастве $L_q$. I [The estimates of approximative characteristics of the Besov classes $B^r_{p, θ}$ of periodic functions of many variables on the space $L_q$. I], Ukr. Mat. Zh., 53, № 9, 1224 – 1231 (2001).
A. S. Romanyuk, Оценки аппроксимативных характеристик классов Бесова $B^r_{p, θ}$периодических функций многих переменных в прострастве $L_q$. II [The estimates of approximative characteristics of the Besov classes $B^r_{p, θ}$ of periodic functions of many variables on the space $L_q$. II], Ukr. Mat. Zh., 53, № 10, 1402 – 1408 (2001).
A. S. Romanyuk, S. Ya. Yanchenko, Оцiнки апроксимацiйних характеристик i властивостi операторiв найкращого наближення класiв перiодичних функцiй у просторi $B_{1,1}$ [Estimates of approximation characteristics and properties of operators of the best approximation for the classes of periodic functions in the space $B_{1,1}$], Ukr. Mat. Zh., 73, № 8, 1102 – 1119 (2021), https://doi.org/10.37863/umzh.v73i8.6755 DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v73i8.6755
D. Dung, V. N. Temlyakov, T. Ullrich, Hyperbolic cross approximation, Adv. Courses in Math., Birkhauser/Springer, CRM Barcelona (2018), https://doi.org/10.1007/978-3-319-92240-9 DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-92240-9
Copyright (c) 2022 Сергій Янченко, Анатолій Романюк
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
