Valiron-type and Valiron–Titchmarsh-type theorems for subharmonic functions of slow growth
DOI:
https://doi.org/10.37863/umzh.v74i11.7251Keywords:
субгармонійна функція, міра Рісса, повільно зростаюча функція.Abstract
UDC 517.53
Let $u$ be a function of zero order subharmonic in $\mathbb{R}^m,$ $m\geq 2,$ with Riesz measure $\mu$ on the negative semiaxis $Ox_1,$ n(r,u)=\mu\big(\big\{x\in\mathbb{R}^m\colon |x|\leq r\big\}\big),$ $d_m=m-2$ for $m\geq 3,$ $d_2=1,$ and $N(r,u)=d_m\displaystyle\int\nolimits_1^r \dfrac{n(t,u)}{t^{m-1}}\,dt.$Under the condition of slow growth of $N(r,u),$ we determine the asymptotics of $u(x)$ as $|x|=r\to+\infty.$ We also study the inverse relationship between the regular growth of $u$ and the behavior of $N(r,u)$ for $r\to+\infty.$
References
G. Valiron, Sur les fonctions entiéres d’ordre nul et d’ordre fini, et en particulier sur les fonctions á correspondance réguliére, Ann. Fac. Sci. Univ. Toulouse, 5, No. 3, 117–257 (1913). DOI: https://doi.org/10.5802/afst.287
E. C. Titchmarsh, On integral functions with real negative zero, Proc. London Math. Soc., 26, No. 2, 185–200 (1927). DOI: https://doi.org/10.1112/plms/s2-26.1.185
М. В. Заболоцький, Теореми типу Валірона та Валірона–Тітчмарша для цілих функцій нульового порядку, Укр. мат. журн., 48, No. 3, 315–325 (1996).
А. А. Гольдберг, И. В. Островский, Распределение значений мероморфных функций, Наука, Москва (1970).
P. Z. Agranovich, Polynomial asymptotic representation of subharmonic functions with masses on one ray in the space, Mat. Studii, 23, No. 2, 169–178 (2005).
A. I. Kheyfits, Valiron–Titchmarsh theorem for subharmonic functions in ${R}^n$ with masses on a half-line, Ann. Fac. Sci. Univ. Toulouse, 23, No. 1, 159–173 (2014). DOI: https://doi.org/10.5802/afst.1401
Е. Сенета, Правильно меняющиеся функции, Наука, Москва (1985).
М. В. Келдыш, Об одной тауберовой теореме, Тр. Мат. ин-та АН СССР, 38, 77–86 (1951).
У. Хейман, П. Кеннеди, Субгармонические функции, Мир, Москва (1980).
М. В. Заболоцький, Асимптотика добутків Бляшке, лічильна функція нулів яких є повільно зростаючою, Укр. мат. журн., 52, No. 12, 1650–1660 (2000).
