# Relationship between the Boyanov–Naydenov problem and Kolmogorov-type inequalities

• V. Kofanov Dnipro National University named after Oles Honchar
Keywords: Boyanov-Naydenov problem, Kolmogorov-type inequalities, Relationship theorem

### Abstract

UDC 517.5

We prove that the Boyanov–Naidenov problem $\|x^{(k)}\|_{q,\, \delta} \to \sup,$ $k= 0,1, \ldots ,r-1,$ on the classes of functions $\Omega^r_p(A_0, A_r) := \{x\in L^r_{\infty}\colon \|x^{(r)}\|_{\infty}\le A_r,\ L(x)_p\le A_0 \},$ where $q \ge 1$ for $k\ge 1$ and $q \ge p$ for $k=0,$ is equivalent to the problem of finding the sharp constant $C = C(\lambda)$ in the Kolmogorov-type inequality \begin{gather}\|x^{(k)}\|_{q,\, \delta} \leq C L(x)_{p}^{\alpha} \big\|x^{(r)}\big\|_\infty^{1-\alpha}, \quad x\in \Omega^{r}_{p, \lambda}, \tag{1}\end{gather} where $\alpha=\dfrac{r-k+1/q}{r+1/p},$ $\|x\|_{p,\, \delta}:=\sup \{\|x\|_{L_p[a,\, b]}\!\colon a, b \in {\rm \bf R},\ 0< b-a \le \delta \},$ $\delta > 0,$ $\Omega^{\,r}_{p, \lambda}:= \bigcup \{\Omega^{\,r}_p(A_0, A_r)\colon A_0 = A_r L(\varphi_{\lambda, r})_p \},$ $\lambda > 0,$ $\varphi_{\lambda, r}$ is a contraction of the ideal Euler spline of order $r,$ and $L(x)_p:=\sup\big\{ \|x\|_{L_p[a,\, b]}\colon a, b \in {\rm \bf R},\ |x(t)|>0,\ t\in (a, b)\big\}.$

In particular, we obtain a sharp inequality of the form (1) on the classes  $\Omega^{\,r}_{p, \lambda},$ $\lambda > 0.$ We also prove the theorems on relationships for the Boyanov–Naidenov problems on the spaces of trigonometric polynomials and splines and establish the relevant sharp Bernstein-type inequalities.

### References

Н. П. Корнейчук, В. Ф. Бабенко, В. А. Кофанов, С. А. Пичугов, Неравенства для производных и их приложения, Наук. думка, Киев (2003).

В. Ф. Бабенко, Исследования Днепропетровских математиков по неравенствам для производных периодических функций и их приложениям, Укр. мат. журн., 52, № 1, 5–29 (2000).

M. K. Kwong, A. Zettl, Norm inequalities for derivatives and differences, Lecture Notes in Math., 1536, Springer-Verlag, Berlin (1992).

В. Ф. Бабенко, В. А. Кофанов, С. А. Пичугов, Сравнение точных констант в неравенствах для производных на действительной оси и на окружности, Укр. мат. журн., 55, № 5, 579–589 (2003).

V. A. Kofanov, On the relationship between sharp Kolmogorov-type inequalities and sharp Kolmogorov–Remez-type inequalities, Ukr. Math. J., 73, № 4, 592–600 (2021).

E. Nursultanov, S. Tikhonov, A sharp Remez inequality for trigonometric polynomials, Constr. Approx., 38, 101–132 (2013).

S. Tikhonov, P. Yuditski, Sharp Remez inequality, Constr. Approx., 52, 233–246 (2020).

V. A. Kofanov, Sharp Remez-type inequalities for differentiable periodic functions, polynomials, and splines, Ukr. Math. J., 68, № 2, 253–268 (2016).

V. A. Kofanov, Sharp Remez-type inequalities of different metrics for differentiable periodic functions, polynomials, and splines, Ukr. Math. J., 69, № 2, 205–223 (2017).

A. E. Gaidabura, V. A. Kofanov, Sharp Remez-type inequalities of various metrics in the classes of functions with given comparison function, Ukr. Math. J., 69, № 11, 1710–1726 (2017).

V. A. Kofanov, Sharp Kolmogorov–Remez-type inequalities for periodic functions of low smoothness, Ukr. Math. J., 72, № 4, 555–567 (2020).

V. A. Kofanov, I. V. Popovich, Sharp Remez-type inequalities of various metrics with asymmetric restrictions imposed on the functions, Ukr. Math. J., 72, № 7, 1068–1079 (2020).

V. A. Kofanov, T. V. Olexandrova, A sharp Remez type inequalities which estimates $L_q$-norm of a function with the help of its $L_p$-norm, Ukr. Math. J., 74, № 5, 635–649 (2022).

B. Bojanov, N. Naidenov, An extension of the Landau–Kolmogorov inequality. Solution of a problem of Erdos, J. Anal. Math., 78, 263–280 (1999).

P. Erdös, Open problems, Open Problems in Approximation Theory (B. Bojanov, Ed.), SCT Publ., Singapure (1994), p. 238–242.

В. А. Кофанов, Неравенства для непериодических сплайнов на действительной оси и их производных, Укр. мат. журн., 66, № 2, 216–225 (2014).

A. Pinkus, O. Shisha, Variations on the Chebyshev and $L^q$ theories of best approximation, J. Approx. Theory, 35, № 2, 148–168 (1982).

В. А. Кофанов, О некоторых экстремальных задачах разных метрик для дифференцируемых функций на оси, Укр. мат. журн., 61, № 6, 765–776 (2009).

V. A. Kofanov, Some extremal problems of various metrics and sharp inequalities of Nagy–Kolmogorov type, East J. Approx., 16, № 4, 313–334 (2010).

В. А. Кофанов, Точные верхние грани норм функций и их производных на классах функций с заданной функцией сравнения, Укр. мат. журн., 63, № 7, 969–984 (2011).

В. А. Кофанов, Задача Боянова–Найденова для функций с несимметричными ограничениями на старшую производную, Укр. мат. журн., 71, № 3, 368–381 (2019).

В. А. Кофанов, Неравенства для производных функций на оси с несимметрично ограниченными старшими производными, Укр. мат. журн., 64, № 5, 636–648 (2012).

В. А. Кофанов, Задача Боянова–Найдьонова для диференційовних функцій і задача Ердьоша для поліномів та сплайнів, Укр. мат. журн., 75, № 2, 182–197 (2023).

В. А. Кофанов, Задача Боянова–Найденова для дифференцируемых функций на оси и неравенства разных метрик, Укр. мат. журн., 71, № 6, 786–800 (2019).

V. A. Kofanov, Inequalities of different metrics for differentiable periodic functions, Ukr. Math. J., 67, № 2, 230–242 (2015).

A. A. Ligun, Inequalities for upper bounds of functionals, Anal. Math., 2, № 2, 11–40 (1976).

A. P. Calderon, G. Klein, On an extremum problem concerning trigonometrical polynomials, Studia Math., 12, 166–169 (1951).

А. А. Лигун, Точные неравенства для сплайн-функций и наилучшие квадратурные формулы для некоторых классов функций, Мат. заметки, 19, № 6, 913–926 (1976).

Published
25.03.2024
How to Cite
Kofanov, V. “Relationship Between the Boyanov–Naydenov Problem and Kolmogorov-Type Inequalities ”. Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal, Vol. 76, no. 3, Mar. 2024, pp. 395 -04, doi:10.3842/umzh.v76i3.7656.
Issue
Section
Research articles