Biharmonic continuations of gradients with the help of monogenic functions with values in the biharmonic algebra
Abstract
UDC 517.5
Necessary and sufficient conditions are established for the existence of the continuations of gradients of biharmonic functions $u_1$ and $u_2$ across a smooth curve $\Gamma$ ($u_k \colon D_k \longrightarrow \mathbb{R},$ $k=1,2,$ and $\Gamma$ is a common part of the boundaries of $D_1$ and $D_2$). Moreover, the indicated continuation of gradients determines the gradient of the biharmonic function (in $D_1 \cup \Gamma \cup D_1$).
References
С. В. Грищук, С. А. Плакса, Моногенные функции в бигармонической алгебре, Укр. мат. журн., 61, № 12, 1587–1596 (2009).
S. V. Gryshchuk, S. A. Plaksa, Basic properties of monogenic functions in a biharmonic plane, Complex Analysis and Dynamical Systems V, Contemp. Math., 591, Amer. Math. Soc., Providence, RI (2013), p. 127–134.
С. В. Грищук, С. А. Плакса, Моногенные функции в бигармонической плоскости, Доп. НАН України, Мат., природ., техн. науки, № 12, 13–20 (2009).
B. Y. Sternin, V. E. Shatalov, Continuation of solutions to elliptic equations and localization of singularities, Global Analysis – Studies and Applications V, Lecture Notes in Math., 1520, Springer, Berlin, Heidelberg (1992), p. 237–259.
H. Lewy, Neuer Beweis des analytischen Charakters der Lösungen elliptischer Differentialgleichungen, Math. Ann., 101, № 1, 609–619 (1929).
С. Г. Михлин, Плоская задача теории упругости, Труды Сейсм. ин-та АН СССР, № 65 (1934).
G. Albinus, Multiple layer potentials for the quadrant and their application to the Dirichlet problem in plane domains with a piecewise smooth boundary, Banach Center Publ., 10, № 1, 7–26 (1983).
И. Н. Векуа, Новые методы решения эллиптических уравнений, Гостехиздат, Москва, Ленинград (1948).
H. Poritsky, Application of analytic functions to two-dimensional biharmonic analysis, Trans. Amer. Math. Soc., 59, № 2, 248–279 (1946).
C. L. Yu, Reflection principle for solutions of higher order elliptic equations with analytic coefficients, SIAM J. Appl. Math., 2, № 3, 358–363 (1971).
J. H. Bramble, Continuation of solutions of the equations of elasticity, Proc. London Math. Soc., 3, № 10, 335-353 (1960).
J. H. Bramble, Continuation of solutions of the equations of elasticity across a spherical boundary, J. Math. Anal. and Appl., 2, № 1, 72–85 (1961).
T. V. Savina, On the dependence of the reflection operator on boundary conditions for biharmonic functions, J. Math. Anal. and Appl., 370, № 2, 716–725 (2010).
S. V. Gryshchuk, S. A. Plaksa, Monogenic functions in the biharmonic boundary value problem, Math. Methods Appl. Sci., 39, № 11, 2939–2952 (2016).
Л. Берс, Ф. Джон, М. Шехтер. Уравнения с частными производными, Мир, Москва (1966).
И. И. Ляшко, А. К. Боярчук, Я. Г. Гай, А. Ф Калайда, Математический анализ: в 3-х ч., ч. 2, Вища школа, Киев (1985).
Л. Д. Кудрявцев, Курс математического анализа: в 3-х т., т. 2, Дрофа, Москва (2004).
Я. Б. Лопатинский, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Вища школа, Киев (1984).
В. Ф. Ковалев, И. П. Мельниченко, Бигармонические функции на бигармонической плоскости, Доп. АН УРСР. Сер. А, № 8, 25–27 (1981).
И. П. Мельниченко, Бигармонические базисы в алгебрах второго ранга, Укр. мат. журн., 38, № 2, 252–254 (1986).
L. Sobrero, Nuovo metodo per lo studio dei problemi di elasticità, con applicazione al problema della piastra forata, Ric. Ingegn., 1, № 2, 255–264 (1934).
A. Douglis, A function-theoretic approach to elliptic systems of equations in two variables, Commun. Pure and Appl. Math., 6, № 2, 259–289 (1953).
М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат, Методы теории функций комплексного переменного, Наука, Москва (1987).
Copyright (c) 2024 Сергій Вікторович Грищук
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
