Locally maximal attractors of expanding dynamical systems

  • O. M. Sharkovsky Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv
  • V. S. Bondarchuk Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv
  • A. G. Sivak Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv


UDC 517.9

We study locally maximal attractors of expanding dynamical systems.  Our main result is a representation of these attractors with the help of   topological Markov chains corresponding to the Markov partitions of these attractors, which allows to describe the system dynamics on them. 

Ya. G. Sinai was the first who constructed and used Markov partitions for Anosov's diffeomorphisms [Funk.  Anal. Prilozh., 2, No. 1, 64–89; No. 3, 70–80 (1968); English translation:  Funct. Anal.  Appl., 2, No. 1, 61–82; No. 3, 245–253 (1968)].  Expanding endomorphisms regarded as  the simplest representatives of endomorphisms, were first studied by M. Shub [Amer. J. Math., 91, No. 1, 175–200 (1969)].  To construct Markov partitions for expanding endomorphisms, we modernize Sinai's method in a corresponding way. 

A more detailed  historical overview can be found in the work by O. M. Sharkovsky [Ukr. Mat. Zh., 74, No. 12, 1709–1718 (2023);  English translation:  Ukr. Math.  J., 74, No. 12, 1950–1960 (2023)]. There Sharkovsky indicated that the methods used to prove the main results [Dokl. Akad. Nauk SSSR, 170, No. 6, 1276–1278 (1966);  English translation:  Soviet Math. Dokl., 7, No. 5, 1384–1386 (1966)] were, in fact, published in the  collection of papers  ``Dynamical systems and the problems of stability of solutions of differential equations'' (1973) issued by the Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of Ukraine.  This collection is difficult to access and it was never translated into English. However, in the cited paper these methods were applied to somewhat different objects.  To the best of the  authors' knowledge, there is no information about publications of similar results.  Given the outlined history and importance of this approach (based on the Markov partitions and topological Markov chains) for the description of  attractors' construction it seems reasonable  to rеpublish these results  in a new way. 


Я. Г. Синай, Марковские разбиения и У-диффеоморфизмы, Функц. анализ и его прил., 2, № 1, 64–89 (1968); English translation: Funct. Anal. Appl., 2, № 1, 61–82 (1968).

Я. Г. Синай, Построение марковских разбиений, Функц. анализ и его прил., 2, № 3, 70–80 (1968); English translation: Funct. Anal. Appl., 2, № 3, 245–253 (1968).

M. Shub, Endomorphisms of compact differentiable manifolds, Amer. J. Math., 91, № 1, 175–200 (1969).

О. М. Шарковський, Дескриптивна теорія детермінованого хаосу, Укр. мат. журн., 74, № 12, 1709–1718 (2023); English translation: Ukr. Math. J., 74, № 12, 1950–1960 (2023).

А. Н. Шарковский, Частично упорядоченная система притягивающих множеств, Докл. АН СССР, 170, № 6, 1276–1278 (1966); English translation: Soviet Math. Dokl., 7, № 5, 1384–1386 (1966).

А. Н. Шарковский, В. С. Бондарчук, О частично упорядоченной системе $omega$-предельных множеств растягивающих эндоморфизмов, Динамические системы и вопросы устойчивости решений дифференциальных уравнений, Институт математики АН УССР, 128–164 (1973).

А. Н. Шарковский, Аттракторы траекторий и их бассейны, Наук. думка, Киев (2013).

А. Н. Шарковский, Об $omega$-предельных множествах дискретных динамических систем, Дис. ... д-ра физ.-мат. наук, Киев (1966).

В. М. Алексеев, Квазислучайные динамические системы, Мат. сб., 76(118), № 1, 72--134 (1968); English translation: Math. USSR-Sb., 5, № 1, 73–128 (1968).

В. М. Алексеев, Перроновские множества и топологические цепи Маркова, Укр. мат. журн., 24, № 5, 227–228 (1969).

Д. Б. Каток, Динамические системы с гиперболической структурой, Девятая летняя математическая школа, Институт математики АН УССР, 125–212 (1972).

Д. Громол, В. Клингенберг, В. Мейер, Риманова геометрия в целом, Мир, Москва (1971); translation from German: D. Gromoll, W. Klingenberg, W. Meyer, Riemannsche Geometrie im Grossen, Springer (1968).

К. Куратовский, Топология, т. 1, 2, Мир, Москва (1966–1969); translation from English: K. Kuratowski, Topology, Vols.~1, 2, Academic Press (1968).

How to Cite
Sharkovsky, O. M., V. S. Bondarchuk, and A. G. Sivak. “Locally Maximal Attractors of Expanding Dynamical Systems”. Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal, Vol. 76, no. 1, Feb. 2024, pp. 17 -30, doi:10.3842/umzh.v76i1.7928.
Research articles