Actual problems of the theory of approximations in metrics of discrete spaces on the sets of summable periodic and almost periodic functions
Abstract
UDC 517.5
We present a review highlighting the main aspects of the development of research related to the solution of extreme problems in the theory of approximation in the spaces ${\mathcal S}^p$ and $B{\mathcal S}^p$ of periodic and almost periodic summable functions, respectively, where the $l_p$-norms of the sequences of Fourier coefficients are finite. In particular, the present review contains the available results concerning the best and best $n$-term approximations, as well as the widths of the classes of functions of one and many variables defined by means of the $\psi$-derivatives and generalized moduli of smoothness in the spaces ${\mathcal S}^p$ and $B{\mathcal S}^p.$ Special attention is given to the development of investigations related to the derivation of direct and inverse approximation theorems in these spaces.
References
F. G. Abdullayev, P. Özkartepe, V. V. Savchuk, A. L. Shidlich, Exact constants in direct and inverse approximation theorems for functions of several variables in the spaces $S^p$, Filomat, 33, № 5, 1471–1484 (2019). DOI: https://doi.org/10.2298/FIL1905471A
F. Abdullayev, S. Chaichenko, M. Imash kyzy, A. Shidlich, Direct and inverse approximation theorems in the weighted Orlicz-type spaces with a variable exponent, Turk. J. Math., 44, 284–299 (2020). DOI: https://doi.org/10.3906/mat-1911-3
F. Abdullayev, A. Serdyuk, A. Shidlich, Widths of functional classes defined by majorants of generalized moduli of smoothness in the spaces $S^p$, Ukr. Math. J., 73, № 6, 841–858 (2021). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-021-01963-6
F. Abdullayev, S. Chaichenko, M. Imashkyzy, A. Shidlich, Jackson-type inequalities and widths of functional classes in the Musielak–Orlicz type spaces, Rocky Mountain J. Math., 51, № 4, 1143–1155 (2021). DOI: https://doi.org/10.1216/rmj.2021.51.1143
F. Abdullayev, S. Chaichenko, A. Shidlich, Direct and inverse approximation theorems of functions in the Musielak–Orlicz type spaces, Math. Inequal. Appl., 24, № 2, 323–336 (2021). DOI: https://doi.org/10.7153/mia-2021-24-23
V. A. Abilov, F. V. Abilova, Problems in the approximation of $2π$-periodic functions by Fourier sums in the space $L_2 (2π)$, Math. Notes, 76, № 6, 749–757 (2004). DOI: https://doi.org/10.1023/B:MATN.0000049674.45111.71
N. I. Akhiezer, Lectures on approximation theory, 2nd ed., Nauka, Moscow (1965); English translation of the 1st ed. (1947): Theory of approximation, Ungar, New York (1956).
N. Ainulloev, The values of the widths of certain classes of differentiable functions in $L_2$, Dokl. Akad. Nauk Tadzhik SSR, 27, № 8, 416–418 (1984).
A. G. Babenko, The exact constant in the Jackson inequality in $L^2$, Math. Notes., 39, 355–363 (1986). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01156673
K. I. Babenko, Approximation of periodic functions of many variables by trigonometric polynomials, Soviet Math. Dokl., 1, 513–516 (1960).
K. I. Babenko, Approximation by trigonometric polynomials in a certain class of periodic functions of several variables, Soviet Math. Dokl., 1, 672–675 (1960).
V. F. Babenko, S. V. Savela, Inequalities of Jackson–Stechkin type for almost periodic functions, Visn. Dnipopetrovsk Univ., 20, № 6/1, 60–66 (2012). DOI: https://doi.org/10.15421/241208
V. F. Babenko, S. V. Konareva, Jackson–Stechkin-type inequalities for the approximation of elements of Hilbert spaces, Ukr. Math. J., 70, № 9, 1331--1344 (2019). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-019-01573-3
N. K. Bari, Trigonometric series, Fizmatgiz, Moscow (1961).
N. K. Bari, S. B. Stechkin, Best approximations and differential properties of two conjugate functions, Trudy Moskov. Mat. Obshch., 5, 483–522 (1956).
S. Bernstein, Sur les recherches récentes relatives àla meilleure approximation des fonctions continues par les polyn^{o}mes, Proc. 5th Inter. Math. Congr., 1, 256–266 (1912)
(see also S. Bernstein, Collected works, vol. 1, Izdat. Akad. Nauk SSSR, Moscow (1952), p. 112--123).
A. S. Besicovitch, Almost periodic functions, Dover Publ., Inc., New York (1955).
J. Boman, Equivalence of generalized moduli of continuity, Ark. Mat., 18, 73–100 (1980). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02384682
E. A. Bredikhina, Absolute convergence of Fourier series of almost periodic functions, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 179, № 5, 1023–1026 (1968).
E. A. Bredikhina, Almost periodic functions, in: I. M. Vinogradov (ed.), Encyclopedia Math., 4, 543–545 (1984).
P. Butzer, R. J. Nessel, Fourier analysis and approximation, Birkhäuser, Basel (1971). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-7448-9
S. B. Vakarchuk, Jackson-type inequalities and exact values of widths of classes of functions in the spaces $S^p,$ $1< p< ∞$, Ukr. Math. J., 56, № 5, 718–729 (2004). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-005-0070-5
S. B. Vakarchuk, A. N. Shchitov, On some extremal problems in the theory of approximation of functions in the spaces $S^p,$ $1< p< ∞ $, Ukr. Math. J., 58, № 3, 340–356 (2006). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-006-0070-0
S. B. Vakarchuk, Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the $n$-widths for the classes of $ (ψ,β)$-differentiable functions in $L_2.$ I, Ukr. Math. J., 68, № 6, 823–848 (2016). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-016-1260-z
S. B. Vakarchuk, V. I. Zabutnaya, Inequalities between best polynomial approximations and some smoothness characteristics in the space $L_2$ and widths of classes of functions, Math. Notes, 99, № 2, 222–242 (2016). DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434616010259
S. N. Vasili's, The Jackson–Stechkin inequality in $L_2[-π,π]$, Proc. Steklov Inst. Math., Suppl., 1, S243–S253 (2001).
В. Р. Войцехівський, Нерівності типу Джексона при наближенні функцій з простору $S^p$ сумами Зигмунда, Теорія наближення функцій та суміжні питання: Праці Інституту математики НАН України, 35, 33–46 (2002).
В. Р. Войцехівський, Поперечники деяких класів простору $S^p$, Екстремальні задачі теорії функцій та суміжні питання: Праці Інституту математики НАН України, 46, 17–26 (2003).
V. R. Voitsekhivs'kyi, Jackson-type inequalities in the space $S^p$, Ukr. Math. J., 55, № 9, 1410–1422 (2003). DOI: https://doi.org/10.1023/B:UKMA.0000018004.30106.f9
В. Р. Войцехівський, А. С. Сердюк, Нерівності типу Джексона при наближенні функцій з простору ${S}^p$ методом Вороного, Проблеми теорії наближення функцій та суміжні питання: Зб. праць Інституту математики НАН України, 2, № 2, 43–53 (2005).
R. A. De Vore, V. N. Temlyakov, Nonlinear approximation by trigonometric sums, J. Fourier Anal. Appl., 2, № 1, 29–48 (1995). DOI: https://doi.org/10.1007/s00041-001-4021-8
D. M. D'yachenko, On the properties of Fourier coefficients for functions of the class $H^ω$, Moscow Univ. Math. Bull., 60, № 4, 19–26 (2005).
D. M. D'yachenko, Certain constants in absolutely convergent Fourier series for functions from $H^ω$, Russian Math (Iz. VUZ), 51, № 7, 38–44 (2007). DOI: https://doi.org/10.3103/S1066369X07070043
D. Dung, V. Temlyakov, T. Ullrich, Hyperbolic cross approximation, Adv. Courses in Math., CRM Barcelona, Birkhäuser/Springer, Cham (2018). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-92240-9
M. G. Esmaganbetov, Widths of classes from $L_2 [0, 2π]$ and the minimization of exact constants in Jackson-type inequalities, Math. Notes, 65, № 6, 689–693 (1999). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02675582
F. Gao, Exact value of the $n$-term approximation of a diagonal operator, J. Approx. Theory, 162, № 4, 646–652 (2010). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jat.2009.07.004
M. L. Gorbachuk, Ya. I. Grushka, S. M. Torba, Direct and inverse theorems in the theory of approximation by the Rietz method, Ukr. Math. J., 57, № 5, 751–764 (2005). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-005-0225-4
G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya, Inequalities, Cambridge Univ. Press (1934).
J.-P. Kahane, Séries de Fourier absolument convergentes, Ergeb. Math. Grenzgeb., 50, Springer-Verlag, Berlin, New York (1970). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-59158-1
A. I. Kozko, A. V. Rozhdestvenskii, On Jackson's inequality for a generalized modulus of continuity in $L_2$, Sb. Math., 195, № 8, 1073–1115 (2004). DOI: https://doi.org/10.1070/SM2004v195n08ABEH000838
A. Kolmogoroff, "{U}ber die beste Annäherung von Funktionen einer gegebenen Funktionenklasse, Ann. Math., 37, № 1, 107–110 (1936). DOI: https://doi.org/10.2307/1968691
B. M. Levitan, Almost periodic functions, Gostekhteorizdat, Moscow (1953).
R. S. Li, Y. P. Liu, Best $m$-term one-sided trigonometric approximation of some function classes defined by a kind of multipliers, Acta Math. Sin. (Engl. Ser.), 26, № 5, 975–984 (2010). DOI: https://doi.org/10.1007/s10114-009-6478-3
A. Pinkus, $n$-Widths in approximation theory, Springer-Verlag (1985). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-69894-1
Ya. G. Pritula, Jackson's inequality for $B^2$-almost periodic functions, Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat., 8, 90–93 (1972).
Я. Г. Притула, М. М. Яцимірський, Оцінки наближень $B^2$-майже періодичних функцій, Вісн. Львів. ун-ту, Сер. мех.-мат., 21, 3–7 (1983).
А. С. Романюк, Аппроксимативные характеристики классов периодических функций многих переменных, Праці Інституту математики НАН України, 40} (2012).
В. В. Савчук, А. Л. Шидліч, Наближення функцій багатьох змінних лінійними методами у просторах $S^p$, Проблеми теорії наближення функцій та суміжні питання: Зб. праць Інституту математики НАН України, 4, № 1, 302–317 (2007).
V. V. Savchuk, A. L. Shidlich, Approximation of functions of several variables by linear methods in the space $S^p$, Acta Sci. Math (Szeged), 80, № 3-4, 477–489 (2014). DOI: https://doi.org/10.14232/actasm-012-837-8
А. С. Сердюк, Поперечники у просторі $S^p$ класів функцій, що означаються модулями неперервності їх $ψ$-похідних, Екстремальні задачі теорії функцій та суміжні питання: Праці Інституту математики НАН України, 46, 229–248 (2003).
А. С. Сердюк, Т. А. Степанюк, Оцінки найкращих $m$-членних тригонометричних наближень класів аналітич-них функцій, Доп. НАН України, № 2, 32–37 (2015).
А. С. Сердюк, А. Л. Шидліч, Задачі теорії наближень в абстрактних лiнiйних просторах, Сучасні проблеми математики та її застосувань, II: Зб. праць Інституту математики НАН України, 18, № 1, 594–643 (2021)
(див. також arXiv: 2104.04252).
A. S. Serdyuk, A. L. Shidlich, Direct and inverse theorems on the approximation of almost periodic functions in Besicovitch–Stepanets spaces, Carpath. Math. Publ., 13, № 3, 687–700 (2021). DOI: https://doi.org/10.15330/cmp.13.3.687-700
B. Sz.-Nagy, Sur une classe générale de procédés de sommation pour les séries de Fourier, Acta Math. Hungar., 1, № 3, 14–52 (1948).
А. И. Степанец, Классы периодических функций и приближение их элементов суммами Фурье, Препринт 83.10, Институт математики НАН Украины, Киев (1983).
А. И. Степанец, Классификация и приближение периодических функций, Наук. думка, Киев (1987).
A. I. Stepanets, Classification and approximation of periodic functions, Mathematics and Its Applications, 333, Kluwer Acad. Publ. Group, Dordrecht (1995).
А. И. Степанец, Аппроксимационные характеристики пространств $S_φ^p$, Препринт 2000.2, Институт математики НАН Украины, Киев (2000).
А. И. Степанец, Аппроксимационные характеристики пространств $S_φ^p$, Препринт 2001.2, Институт математики НАН Украины, Киев (2001).
A. I. Stepanets, Approximation characteristics of spaces $S^p_φ$, Ukr. Math. J., 53, № 3, 446–475 (2001). DOI: https://doi.org/10.1023/A:1012348506457
A. I. Stepanets, Approximation characteristics of spaces $S^p_φ$ in different metrics, Ukr. Math. J., 53, № 8, 1340–1374 (2001). DOI: https://doi.org/10.1023/A:1013307912783
А. И. Степанец, Методы теории приближений: В 2 ч., Математика та її застосування: Праці Інституту математики НАН України, 40, ч. 1 (2002).
А. И. Степанец, Методы теории приближений: В 2 ч., Математика та її застосування: Праці Інституту математики НАН України, 40, ч. 2 (2002).
A. I. Stepanets, Extremal problems of approximation theory in linear spaces, Ukr. Math. J., 55, № 10, 1662–1698 (2003). DOI: https://doi.org/10.1023/B:UKMA.0000022073.23834.1b
A. I. Stepanets, Methods of approximation theory, VSP, Leiden, Boston (2005). DOI: https://doi.org/10.1515/9783110195286
A. I. Stepanets, Problems of approximation theory in linear spaces, Ukr. Math. J., 58, № 1, 54–102 (2006). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-006-0052-2
A. I. Stepanets, A. S. Serdyuk, Direct and inverse theorems in the theory of the approximation of functions in the space $S^p$, Ukr. Math. J., 54, № 1, 126–148 (2002).
A. I. Stepanets, V. I. Rukasov, Spaces $S^p$ with nonsymmetric metric, Ukr. Math. J., 55, № 2, 322–338 (2003). DOI: https://doi.org/10.1023/A:1025472514408
O. I. Stepanets, A. L. Shydlich, Best $n$-term approximations by $Λ$-methods in the spaces $S_φ^p$, Ukr. Math. J., 55, № 8, 1338–1362 (2003). DOI: https://doi.org/10.1023/B:UKMA.0000010763.01827.6f
O. I. Stepanets, A. S. Serdyuk, A. L. Shydlich, On some new criteria for infinite differentiability of periodic functions, Ukr. Math. J., 59, № 10, 1569–1580 (2007). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-008-0010-2
A. I. Stepanets, A. S. Serdyuk, A. L. Shidlich, Classification of infinitely differentiable periodic functions, Ukr. Math. J., 60, № 2, 1982–2005 (2008). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-009-0185-1
A. I. Stepanets, A. S. Serdyuk, A. L. Shidlich, On relationship between classes of $(ψ,barβ)$-differentiable functions and Gevrey classes, Ukr. Math. J., 61, № 1, 171–177 (2009). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-009-0189-x
A. I. Stepanets, A. L. Shidlich, Best approximations of integrals by integrals of finite rank, J. Approx. Theory, 162, № 2, 323–348 (2010). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jat.2009.05.007
A. I. Stepanets, A. L. Shidlich, Extremal problems for integrals of nonnegative functions, Izv. Math., 74, № 3, 607–660 (2010). DOI: https://doi.org/10.1070/IM2010v074n03ABEH002500
M. D. Sterlin, Exact constants in inverse theorems of approximation theory, Sov. Math., Dokl., 13, 160–163 (1972).
L. V. Taikov, Inequalities containing best approximations and the modulus of continuity of functions in $L_2$, Math. Notes, 20, № 3, 797–800 (1976). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01097254
L. V. Taikov, Structural and constructive characteristics of functions in $L_2$, Math. Notes, 25, № 2, 113–116 (1979). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01142721
V. N. Temlyakov, Approximation of periodic functions, Computational Mathematics and Analysis Series, Nova Sci. Publ., Commack, New York (1993).
V. N. Temlyakov, Greedy algorithm and $m$-term trigonometric approximation, Constr. Approx., 14, № 4, 569–587 (1998). DOI: https://doi.org/10.1007/s003659900090
A. F. Timan, Theory of approximation of functions of a real variable, in: International Series of Monographs on Pure and Applied Mathematics, 34, Pergamon Press and MacMillan, Oxford (1963).
М. Ф. Тиман, Аппроксимация и свойства периодических функций, Наук. думка, Киев (2009).
М. П. Тіман, О. Б. Шаврова, Лінійні оператори типу Марцинкевича для періодичних функцій багатьох змінних у просторах $S^p_m$ та $L_p^m$, Проблеми теорії наближення функцій та суміжні питання: Зб. праць Інституту математики НАН України, 4, № 1, 352--375 (2007).
М. П. Тиман, О. Б. Шаврова, Приближение периодических функций многих переменных операторами полигармонического типа в пространствах $S^p_m$, Вісн. Донец. ун-ту. Математика, № 1, 32–36 (2009).
S. Chaichenko, A. Shidlich, F. Abdullayev, Direct and inverse approximation theorems of functions in the Orlicz type spaces $S_M$, Math. Slovaca, 69, № 6, 1367–1380 (2019). DOI: https://doi.org/10.1515/ms-2017-0314
S. Chaichenko, V. Savchuk, A. Shidlich, Approximation of functions by linear summation methods in the Orlicz-type spaces, J. Math. Sci. (United States), 249, № 5, 705–719 (2020). DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-020-04967-y
S. O. Chaichenko, A. L. Shidlich, T. V. Shulyk, Direct and inverse approximation theorems in the Besicovitch–Musielak–Orlicz spaces of almost periodic functions, Ukr. Math. J., 74, № 5, 801–819 (2022). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-022-02102-5
N. I. Chernykh, On the Jackson inequality in $L_2$, Proc. Steklov Inst. Math., 88, 75–78 (1967).
N. I. Chernykh, The best approximation of periodic functions by trigonometric polynomials in $L_2$, Math. Notes, 2, № 5, 803–808 (1967). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01093942
V. V. Shalaev, Widths in $L_2$ of classes of differentiable functions defined by higher-order moduli of continuity, Ukr. Math. J., 43, № 1, 104–107 (1991). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01066914
А. Л. Шидліч, Порядкові оцінки найкращих $n$-членних ортогональних тригонометричних наближень класів функцій $F_{q,∞}^ψ$ у просторах $L_p (mathbb T^d)$, Проблеми теорії наближення функцій та суміжні питання: Зб. праць Інституту математики НАН України, 8, № 1, 302–317 (2011).
А. Л. Шидліч, Порядкові оцінки для деяких апроксимаційних характеристик, Теорія наближення функцій та суміжні питання: Зб. праць Інституту математики НАН України, 10, № 1, 304–337 (2013).
А. Л. Шидліч, Порядкові оцінки функціоналів, в термінах яких виражаються найкращі $n$-членні наближення класів $F_{q,r}^ψ$, Теорія наближення функцій та суміжні питання: Зб. праць Інституту математики НАН України, 11, № 3, 287–314 (2014).
A. L. Shidlich, Nonlinear approximation of the classes $F_{q,r}^ψ$ of functions of several variables in the integral metrics, Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики: Зб. праць Інституту математики НАН України, 13, № 3, 256–274 (2016).
А. Л. Шидліч, С. О. Чайченко, Деякі екстремальні задачі у просторах Орлича, Мат. студії, 42, № 1, 21–32 (2014).
A. L. Shidlich, S. O. Chaichenko, Approximative properties of diagonal operators in Orlicz spaces, Numer. Funct. Anal. Optim., 36, № 10, 1339–1352 (2015). DOI: https://doi.org/10.1080/01630563.2015.1066387
A. L. Shydlich, Order equalities for some functionals and their application to the estimation of the best $n$-term approximations and widths, Ukr. Math. J., 61, № 10, 1649–1671 (2009). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-010-0304-z
Kh. Yussef, On the best approximations of functions and the values of widths of the classes of functions in $L_2$, Applications of Functional Analysis to the Approximation Theory, Proc. Tver Gos. Univ., 100–114 (1988).
Kh. Yussef, Widths of the classes of functions in the space $L_{2}(0, 2π)$, Application of Functional Analysis to the Approximation Theory, Proc. Kalinin Gos. Univ., 167–175 (1990).
Copyright (c) 2024 Андрій Шидліч, Анатолій Сердюк
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
