The $n$-valent convexity of Frasin integral operators

Анотація

УДК 517.5

$n$-валентна опуклість інтегральних операторів Фразіна

Нехай $f_{i},$ $i\in\lbrace 1,2,\ldots, k\rbrace,$, — аналiтична функцiя на одиничному диску у комплекснiй площинi, яка має вигляд
$f_{i}(z) = z^{n} + a_{i,n+1}z^{n+1} + \ldots, n\in\mathbb{N} = \lbrace 1,2,\ldots\rbrace.$

Розглядається інтегральний оператор Фразіна вигляду
$$\begin{gather*}\label{e1.3} G_{n}(z)=\int\limits_{0}^{z} n\xi^{(n-1)}\bigg(\dfrac{f'_{1}(\xi)}{n\xi^{n-1}}\bigg)^{\alpha_{1}}\cdots\bigg(\dfrac{f'_{k}(\xi)}{n\xi^{n-1}}\bigg)^{\alpha_{k}}d\xi. \end{gather*}$$
Отримано достатні умови, за яких цей інтегральний оператор є $n$-валентно опуклим, та інші цікаві результати.