Simplex analysis of dynamical systems with a perturbation. New criteria of stabilization of a homoclinic separatrix and its use
Abstract
We study adiabatic invariants of nonlinear dynamical systems of autonomous and nonautonomous type on symplectic manifolds, and, in particular, give criteria for the existence of such invariants and methods for constructing them explicitly. We make a thorough analysis of the phenomena of splitting of a homoclinic separatrix from a hyperbolic singular point, and propose a new exact method for constructing an analogue of Melʹnikov's function, which gives a necessary and sufficient condition for transversality, which generalizes automatically to dynamical systems in Rn, n ∈ Z+.
References
Бакай А. С., Степановский Ю. П. Адиабатические инварианты.— Киев : Наук, думка, 1981.— 284 с.
Краскал М. Адиабатические инварианты: Пер. с англ.— М. : Изд-во иностр, лит., 1962.— 92 с.
Арнольд В. И. Математические методы классической механики.— М. : Наука, 1984.— 432 с.
Мельников В. К. Об устойчивости центра при периодических во времени возмущениях// Гр. Моск. мат. о-ва.— 1963.— 12, № 1.— С. 3—52.
Козлов В. В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике // Успехи мат. наук.— 1983.— 38, № 1.— С. 3—67.
Митропольский Ю. А. К вопросу об адиабатическом инварианте// Мат. физика и нелинейн. механика.— 1990.— Вып. 14.— С. 1—30.
Прикарпатский А. К., Микитюк И. В. Алгебраические аспекты интегрируемости нелинейных динамических систем на многообразиях.— Киев : Наук, думка, 1991.— 287 с.
Marsden J. Е. Four applications of nonlinear analysis to physics and Engineering// New directions in Appl. Math.— 1982.— 10.— P. 85—107.
Holmes Ph. J., Marsden J. E. Horsephoes and Arnold diffusion for Hamiltonian systems on Lie groups// Indiana Univ. Math. J.— 1983.— 32, N 2.— P. 273--309
Интегрируемые динамические системы / Ю. А. Митропольский, Н. Н. Боголюбов (мл.). А. К. Прикарпатский, В. Г. Самойленко.— Киев : Наук, думка, 1987.— 296 с.
Митропольский Ю. Л., Антонишин И. О., Прикарпатский А. К- Адиабатические инварианты нелинейных динамических систем с малым параметром // Нелинейные эволюционные уравнения в прикладных задачах.— Киев : Ин-т математики АН УССР, 1991.— С. 90—93.
Нитецки 3. Введение в дифференциальную динамику. — М. : Мир, 1975.— 304 с.
Палис Ж., Димелу В. Геометрическая теория динамических систем. Введение.— М. : Мир, 1986.— 304 с.
Аносов Д. В. Гладкие динамические системы.— М. : ВИНИТИ, 1985.— С. 152—203.— (Итоги науки и техники. Совр. пробл. математики; Т. 1).
Wiggins S., Holmes Ph. Homoclinic orbits in slowly varying oscillators// SIAM J. Math. Anal.— 1987.— 18, N 3.— P. 612—629.
Holmes Ph. J., Marsden J. E. Horseshoes in Perturbations of Hamiltonian systems with Degrees of Freedom H Communs. Math. Phys.— 1982.— 82, N 3.— P. 523—544.
Holmes Ph., Marsden J. E. Melnicov’s method and Arnold diffusion for perturbations of integrable Hamiltonian systems // J. Math. Phys.— 1982.— 23, N 4.— P. 669—675.
Holmes Ph. J. Averaging and Chaotic motions in forced oscillation // SIAM J. App. Math.— 1980.— 38, N 1.—P. 65—80; — 1981.— 40, N 1.—P. 167—168.
Holmes Ph. J., Marsden J. E. A partial differential equation with infinitely many Periodic orbits: Chaotic Oscillations of forced beam H Arch. Ration. Meeh, and Anal.— 1981.— 76, N 2.— P. 135—165.
Holmes Ph. J., Marsden J. E. Bifurcation to divergence and flutter in flow-induced Oscillations : An infinite dimensional analysis //Automatica.— 1978.— 14, N 3.— P. 367— 384.
Chow S.-N. An example of bifurcation to homoclinic orbits//J. Different. Equat.— 1980.— 37, N 3.— P. 351—373.
Chow S.-N., Hale J. K. Method of bifurcation theory.— New York etc.: Springer, 1982.— 250 p.
Guchenheimer J., Holmes Ph. Nonlinear oscillations dynamical systems and bifurcations of vector fields.— New York etc.: Springer, 1983. — 453 p.
Hale J. K. Asymptitic behavior of dissipative systems.— New York etc.: Springer, 1988.—
— 200 p.
Moser J. Stable and Random motions in dynamical systems П Ann. Math. Stud.— 1973.— N 77.— 120 p.
Chow S.-N., Hale J. K., Mallet-Paret J. An example of bifurcation to homoclinic orbits ft J. Different. Equat.— 1980.— 37, N 2.— P. 351—373.
Boutet de Monvel-Berthier A., Nenciu G. On the theory of adiabatic invariants for linear hamiltonian systems // C. r. Acad. sci. A.— 1990.— 310. — P. 807—812.
Churchill R. C. On proving the nonintegrability of a Hamiltonian system H Leet. Notes Math.— 1982.— 925.— P. 103—122.
Coullet P., Elphick C. Topological defects dynamics and Melnicov theory // Phys. Lett. A.— 1987.— 121, N 5.— P. 233—236.
Salam F. M. A. Melnicov technique for highly dissipative systems //SIAM J. AppL Math.— 1987.— 47, N 2.— P. 232—243.
Ling F. H. A numerical study of the applicability of Melnicov’s method // Phys. Lett. A.— 1987.— 119, N 9.— P. 447—452; 122, N 1.— P. 413—417 (with Bao G. W.).
Притула M. M., Прикарпатський А. К., Микитюк І. В. Елементи теорії диференціально-геометричних структур та динамічних систем.— К. : УМК ВО, 1988.— 86 с.
Olver Р. Hamiltonian perturbation theory and water waves // Contemp. Math.— 1984.— 28.— P. 231—249.
Заславский Г. M. Стохастичность динамических систем.— М. : Наука, 1984.— 272 с.
Duarte J. Т., Mendes R. V. Deformation dynamics and constant of motion in dissipative systems//J. Math. Phys.— 1983.— 24, N 7.— P. 1772—1778.
Митропольський Ю. О., Прикарпатський A. К., Філь Б. M. Деякі аспекти градієнтно-голономного алгоритму в теорії інтегровності нелінійних динамічних систем та проблеми комп’ютерної алгебри // Укр. мат. журн.— 1991.— 43, № 1.— С. 78—91.
Неустойчивости в динамических системах / Под ред. В. Джесебехея.—М. : Мир, 1982.— 168 с.
Varosi F., Grebogi С., Yorke J. A. Simplicial appoximation of Poincare maps of differential equations // Phys. Lett. A.— 1987.— 124, N 1, 2.— P. 59—67.
Brown R., Ott E., Grebogi C. Ergodic adiabatic invariants of chaotic systems // Phys, Rev. Lett.— 1987.— 59, N 11.—P. 1173—1176.
Longcope D. W., Sundan R. N. Arnold diffusion in 3/2-dimension // Ibid.— N 14.—P. P. 1500—1503.
Ito H. Nonintegrability of Henon—Heiles systems and a theorem of Ziglin // Koddi Math J.— 1985.— 8, N 2.— P. 120—138.
Ito H. A criterian for non-integrability of Hamiltonian systems with nonhomogeneous potential // J. Appl. Math. Phys.— 1987.— 38, N 5.— P. 459—476.
Yoshida H. Nesessary condition for the existence of algebraic first integrals // CelesL Meeh.— 1983.— 31, N 3. P. 363—399.
Yoshida H. Existence of exponentially unstable periodic solutions and the non-integrablity of homogeneous Hamiltonian systems // Physica D.— 1986.— 21, N 2.— P. 163—170..
Козлов В. В. Расщепление сепаратрис и рождение изолированных периодических решений в гамильтоновых системах с полутора степенями свободы // Успехи мат. наук.— 1986.— 41, № 5.— С. 177—178.
Зиглин С. Л. Расщепление сепаратрис, ветвление решений и несуществование интеграла в динамике твердого тела // Тр. Моск. мат. о-ва — 1980.— 41, № 2.— С. 287—303.
Copyright (c) 1992 Yu. O. Mitropolsky, I. O. Antonishin, A. K. Prikarpatsky, V. G. Samoilenko
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
