Поточкова оцінка майже копозитивного наближення неперервних функцій алгебраїчними многочленами

Анотація

В случае, когда непрерывная на отрезке функция $f$ меняет свой знак в $s$ точках $y_i : 1 < y_s < y_{s-1} < ... < y_1 < 1$, для каждого $n \in N$, большего некоторой постоянной $N(k, y_i)$, зависящей только от $k \in N$ и $\min_{i=1,...,s-1}\{ y_i - y_{i+1}\}$, найден алгебраический многочлен $P_n$ степени не больше $n$ такой, что $P_n$ имеет всюду тот же знак, что и функция $f$, за исключением, возможно, малых окрестностей точек $y_i$: $$(y_i \rho_n(y_i), y_i + \rho_n(y_i)),\quad \rho_n(x) := 1/n2 + \sqrt{1 - x^2}/n,$$ $P_n(y_i) = 0$ и $$| f(x) P_n(x)| \leq c(k, s)\omega_k(f, \rho_n(x)),\quad x \in [ 1, 1],$$ где $c(k, s)$ — постоянная, зависящая только от $k$ и $s, \omega k(f, \cdot )$ — модуль гладкости $k$-го порядка функции $f$.