Закон галуження для скінченних підгруп $SL_4ℂ$ та віддповідні узагальненi поліноми Пуанкаре

Анотація

У рамках відповідності Маккея для кожної скінченної підгрупи $Γ$ групи $SL_4ℂ$ визначено, яким чином скінченно-вимірнє незвідне зображення $SL_4ℂ$ розкладається під дією $Γ$. Нехай $\mathfrak{h}$ — картанова підалгебра $SL_4ℂ$ , а $ϖ_1, ϖ_2, ϖ_3$ — відповідні фундаментальні ваги. Для $(p, q, r) ∈ ℕ^3$ звуження $π_{p,q,r} | Γ$ незвідного зображення $π_{p,q,r}$ найбільшої ваги $pϖ_1 + qϖ_2 + rϖ_3$ в $SL_4ℂ$ розкладається у вигляді $π_{p, q, r} | Γ  = ⊕_{i = 0}^l m_i (p, q, r)γ_i$, де $\{γ_0,…, γ_l\}$ — множина класів еквівалентності незвідних скінченновимірних комплексних зображень $Γ$. Визначено кратності $m_i (p, q, r)$ та доведено, що ряди $${P}_{\varGamma }{\left(t,u,w\right)}_i={\displaystyle \sum_{p=0}^{\infty }{\displaystyle \sum_{q=0}^{\infty }{\displaystyle \sum_{r=0}^{\infty }{m}_i\left(p,q,r\right){t}^p{u}^q{w}^r}}}$$ є раціональними функціями. Це є узагальненням результатів Костанта для $SL_2ℂ$, а також результатів наших попередніх робіт для $SL_3ℂ$.