Корельований броунівський рух як границя наближення детерміністської динаміки середнього поля

Анотація

Проаналізовано перехід від детерміністської динаміки середнього поля декількох великих частинок та нескінченної кількості малих частинок до стохастичного руху великих частинок. Під час цього переходу маленькі частинки перетворюються у випадкове середовище для великих частинок, а рух великих частинок стає стохастичним. Якщо припустити, що розподіл емпіричної швидкості малих частинок визначається щільністю розподілу ф, то силу середнього поля можна подати як від'ємний градієнт масштабного перетворення ф. Стохастичний рух описано системою стохастичних звичайних диференціальних рівнянь, керованих гауссовим просторово-часовим білим шумом та силою середнього поля як інтегральним ядром, інваріантним відносно зсуву. Масштабування зберігає малий параметр при переході (так звану довжину кореляції). У даній постановці окремий рух кожної частинки є класичним броунівським рухом (вінерівським процесом), але спільний рух корелюється силою середнього поля і шумом. Тому він не є гауссівським. Детально проаналізовано рух двох частинок і виведено рівняння дифузії для різниці положень двох частинок. Коефіцієнт дифузії в останньому рівнянні є просторово залежним, що дозволяє визначити області притягання та відштовхування двох частинок шляхом розрахунку течій імовірностей. Результат узгоджується із спостереженнями у прикладних науках, а саме, з фактом, що броунівські частинки притягуються одна до одної, якщо відстань між ними менша за критичний малий параметр. У випадку, що вивчається, показано, що цей параметр пропорціональний згаданій вище довжині кореляції.