О разрешимости и асимптотике решений некоторого функционально-дифференциального уравнения с сингулярностью

Анотація

Доведено існування неперервно диференційовних розв'язків з потрібними асимптотичними властивостями при $t → +0$ та визначено кількість розв'язків такої задачі Коші для функціонально-диференціального рівняння: $$\alpha \left( t \right)x\prime \left( t \right) = at + b_1 x\left( t \right) + b_2 x\left( {g\left( t \right)} \right) + \phi \left( {t,x\left( t \right),x\left( {g\left( t \right)} \right),x\prime \left( {h\left( t \right)} \right)} \right),\quad x\left( 0 \right) = 0,$$ де $α: (0, τ) → (0, +∞),\; g: (0, τ) → (0, +∞),\; h: (0, τ) → (0, +∞)$ — неперервні функції, $0 < g(t) ≤ t, 0 < h(t) ≤ t,\; t ∈ (0, τ), $, $$\begin{gathered} \alpha \left( t \right)x\prime \left( t \right) = at + b_1 x\left( t \right) + b_2 x\left( {g\left( t \right)} \right) + \phi \left( {t,x\left( t \right),x\left( {g\left( t \right)} \right),x\prime \left( {h\left( t \right)} \right)} \right),\quad x\left( 0 \right) = 0, \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{t \to + 0} \alpha \left( t \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered}$$ функція $ϕ$ неперервна в деякій області.