Точні нерівності типу Ремеза, що оцінюють $L_q$ -норму функції через її $L_p$ -норму

Анотація

УДК 517.5 Для довiльних $q\ge p > 0$, $\alpha = (r+1/q)/(r+1/p)$, $f_p\in [0, \infty]$, $\beta \in [0, 2\pi)$, доведено точну нерiвнiсть типу Ремеза $$ \|x\|_q \le \frac{\|\varphi_r+c\|_q}{\|\varphi_r+c\|^{\alpha}_{L_p([0, 2\pi]\setminus B_{y(\beta)})}} \|x\|^{\alpha}_{L_p([0, 2\pi]\setminus B)} \|x^{(r)}\|^{1-\alpha}_\infty $$ для $2\pi$-перiодичних функцiй $x\in L_\infty^r$, що мають нулі, і задовольняють умову $$ \|x_+\|_p \cdot \|x_-\|^{-1}_p = f_p \,(1) $$ де $\varphi_r-$ ідеальний сплайн Ейлера порядку $r$, а число $c$ обрано так, що функція $x=\varphi_r+c$ задовольняє рівність (1), $B-$довільна вимірна за Лебегом множина, така що $\mu B \le \beta \left( \|\varphi_r+c\|_p \cdot \|x^{(r)}\|_\infty \cdot \|x\|^{-1}_p \right)^{-1/(r+1/p)}$, а множина $B_{y(\beta)}$ означена рівністю $B_{y(\beta)}:= \{ t\in [0, 2\pi] : |\varphi_r(t)+c| > y(\beta)\}$, причому $ \mu B_{y(\beta)} = \beta $. Також отримано точні нерівності різних метрик типу Ремеза для тригонометричних поліномів і поліноміальних сплайнів, що задовольняють умову (1).