Об арифметических суммах множеств, содержащихся в данном множестве

Abstract

В последнее время вновь появились работы, посвященные свойствам арифметической (или векторной) суммы множеств. Авторы этих работ Э. Борель, А. Данжуа и др. по-прежнему исследуют условия, достаточ­ные (иногда необходимые) для того, чтобы арифметическая сумма мно­жеств (как правило, совершенных) содержала отрезок, или, наоборот, имела меру нуль. Наиболее интересна, пожалуй, работа М. Холла, в ко­торой доказывается, что любое вещественное число можно представить в виде суммы двух чисел, разложение которых в непрерывную дробь не содержит знаменателей, больших 4. Это доказательство основывается не на специфических свойствах суммы двух непрерывных дробей, а на метри­ ческих свойствах арифметически складываемых совершенных множеств, подобно тому как используется понятие метрической плотности в смысле Л. Г. Шнирельмана в теории чисел.