О применении метода усреднения к решению одного нелинейного интегро-дифференциального уравнения с малым параметром гиперболического типа

Authors

-

Решение задачи

$u(0,t)=u(l,t)=0,$

$u|_{t=0}=f_1(x), uʹ_t|_{t=0}=f_2(x)$

для уравнения

$uʹʹ_{tt}-a^2 uʹʹ_{xx}=\gamma u+\varepsilon F(t,x,u,uʹ_t,uʹ_x,\int_0^tf(t,x,u,uʹ_t,uʹ_x){\rm d}y)$

ищется в виде ряда

$u(x,t)=\sum_{n=1}^∞g_n(t,\varepsilon)sin\frac{πn}{l}x$

и для определения $g_n$ получается некоторое вспомогательное интегро-дифференциальное уравнение, которое решается методом усреднения.

Ю. А. Митропольский, Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний, «Наука», М., 1964.

Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский, Асимптотические методы нелинейных колебаний, Физматгиз, М., 1963.

А. Н. Филатов, Усреднение в дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнениях, «Фан», Ташкент, 1967.

С. А. Василишин, Применение метода усреднения к решению смешанных задач для нелинейных гиперболических уравнений, УМЖ, т. 18, № 2, 1966.

З. Ф. Сирченко, Применение метода усреднения к решению уравнений в частных производных, УМЖ, т. XIV, № 2, 1962.

А. Н. Крылов, О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложения в технических вопросах, Изд-во АН СССР, Л., 1933.