Substantiation of the averaging method for differential-difference equations in the Hilbert space

Abstract

В координатном гильбертовом пространстве $\mathfrak H$ рассматривается начальная задача

\[\frac{dx(t)}{dt}=\varepsilon X(t,x(t),x(t-\Delta)), t>0, \quad (1)\]

\[x(t)=\varphi (t), t \in [-\Delta,0], \quad (2)\]

где $X (t,x,y)$ —вектор-функция, определенная на $[0, \infty) \times D \times D (D \in \mathfrak H)$, и начальная задача для усредненного уравнения:

\[\frac{d\xi}{dt}=\varepsilon X_0(\xi,\xi), \quad (3)\]

\[\xi(0)=\varphi(0). \quad (4)\]

Доказывается, что если функция $X (t, x, y)$ ограничена и удовлетворяет условию Липшица по $х$, $у$, то при достаточно малых значениях $\varepsilon$ соответствующие решения задач (1), (2) и (3), (4) будут сколь угодно близкими на асимптотически большом интервале времени $0 < t <\frac{L}{\varepsilon} $. Аналогичное утверждение устанавливается и для уравнений нейтрального типа.