Riemann operator function. Cayley’s transformation
DOI:
https://doi.org/10.3842/umzh.v77i2.8859Keywords:
2-orthogonal polynomials, Laguerre--Ceyley polynomials, recurrent relation, Hahn property, classical d-orthogonal polynomials, monic polynomials, differential equationAbstract
UDC 510
We study a new class of special functions called Laguerre–Bessel polynomials (PLBs), which play the same role as Laguerre polynomials in the case of application of the Cayley transformation to the evaluation of the operator exponent. The generating function for PLBs is a Bessel operator function of the first kind of zero order obtained by replacing its operator argument by its Cayley transformation. It is shown that the PLBs coincide with a new class of 2-orthogonal polynomials with an accuracy of up to a linear transformation. It is shown that the PLBs are classical in the Hahn–Maroni sense because their normalized derivatives also form a class of 2-orthogonal polynomials with an accuracy of up to a linear transformation. We determine the following characteristics traditional for the polynomial classes: explicit representation, recurrence relations, and the differential equations of the minimal third order.
References
1. Р. Курант, Уравнения с частными производными, Мир, Москва (1964).
2. V. L. Makarov, I. P. Gavrilyuk, N. V. Mayko, Weighted estimates of the Cayley transform method for abstract differential equations, Comput. Methods Appl. Math., 21, № 1, 53–68 (2021); https://doi.org/10.1515/cmam-2019-0120. DOI: https://doi.org/10.1515/cmam-2019-0120
3. В. Л. Макаров, Н. В. Майко, Вагові оцінки точності методу перетворення Келі для абстрактних крайових задач у банаховому просторі, Доп. НАН України, № 5, 3–9 (2020); https://doi.org/10.15407/dopovidi2020.03.003. DOI: https://doi.org/10.15407/dopovidi2020.05.003
4. V. L. Макarov, N. V. Mayko, Weighted estimates of the Cayley transform method for boundary value problems in a Banach space, Numer. Funct. Anal. and Optim., 42, № 2, 211–233 (2021); https://doi.org/10.1080/01630563.2020.1871010. DOI: https://doi.org/10.1080/01630563.2020.1871010
5. V. Havu, J. Malinen, The Cayley transform as a time discretization scheme, Numer. Funct. Anal. and Optim., 28, № 7–8, 825–851 (2007); https://doi.org/10.1080/01630560701493321. DOI: https://doi.org/10.1080/01630560701493321
6. I. P. Gavrilyuk, V. L. Makarov, An exponentially accurate approximation of the operator Mittag-Leffler function with application to time-fractional evolution equations, Укр. мат. журн., 74, № 5, 620–634 (2022); https://doi.org/10.37863/umzh.v74i5.7097. DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v74i5.7097
7. В. Л. Макаров, С. В. Макаров, Функції і поліноми Келі, Доп. НАН України, № 5, 3–9 (2022); https://doi.org/10.15407/dopovidi2022.05.003. DOI: https://doi.org/10.15407/dopovidi2022.05.003
8. В. Л. Макаров, Н. В. Майко, В. Л. Рябічев, Непокращувані оцінки швидкості збіжності методу перетворення Келі для наближення операторної експоненти в гільбертовому просторі, Кібернетика та системний аналіз, 59, № 6, 89–95 (2023); https://doi.org/10.1007/s10559-023-00630-x (in English). DOI: https://doi.org/10.1007/s10559-023-00630-x
9. В. Макаров, С. Макаров, Функції і поліноми Лагерра–Келі, Укр. мат. журн., 76, № 3, 423–431 (2024); doi:10.3842/umzh.v76i3.7810. DOI: https://doi.org/10.3842/umzh.v76i3.7810
10. V. L. Makarov, N. V. Mayko, V. L. Ryabichev, The accuracy estimates of the Cayley transform method for the abstract Cauchy problem, J. Appl. and Numer. Anal., 1, 48–57 (2023); doi:10.30970/ana.2023.1.48. DOI: https://doi.org/10.30970/ana.2023.1.48
11. В. Л. Макаров, Н. В. Майко, В. Л. Рябічев, Відновлення диференціального рівняння з поліноміальними коефіцієнтами за інформацією про його розв’язки, Кібернетика та системний аналіз, 60, № 5, 101–114 (2024); https://doi.org/10.34229/kca2522-9664.24.5.9. DOI: https://doi.org/10.34229/KCA2522-9664.24.5.9
12. I. P. Gavrilyuk, V. L. Makarov, The Cayley transform and the solution of an initial value problem for a first order differential equation with an unbounded operator coefficient in Hilbert space, Numer. Funct. Anal. and Optim., 15, № 5–6, 583–598 (1994); https://doi.org/10.1080/01630569408816582. DOI: https://doi.org/10.1080/01630569408816582
13. K. Douak, P. Maroni, On a new class of 2-orthogonal polynomials, II. The integral representations, arXiv:2212.11949 [math.CA] (2022); https://doi.org/10.48550/arXiv.2212.11949.
14. W. Hahn, Über die Jacobischen Polynome und zwei verwandte Polynomklassen, Math. Z., № 39, 634–638 (1935). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01201380
15. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequnces, published electronically at https://oeis.org.
Downloads
Published
Issue
Section
License
Copyright (c) 2025 Володимир Макаров
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
