Точнi швидкостi в законi повторного логарифма Девiса–Гута для збiжностi першого моменту незалежних однаково розподiлених випадкових величин

Анотація

Нехай $\{X, X_n, n \geq 1\}$ — множина незалежних однаково розподiлених випадкових величин та $S_n = \sum^n_{i=1} X_i$, $M_n = \max_{1\leq k\leq n} |S_k|$. Крiм того, для $r > 0$ нехай $a_n(\varepsilon)$ — функцiя $\varepsilon$ така, що $a_n(\varepsilon ) \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\; \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\; n \rightarrow \tau$ при $n \rightarrow \infty$та $\varepsilon \searrow \surd r$. У випадку $EX^2I\{|X| \geq t\} = o(\text{log}\text{log}t)^{-1})$ при $t \rightarrow \infty$ за допомогою сильної апроксимацiї доведено, що спiввiдношення $$\lim_{\varepsilon \searrow \surd r} \frac 1{-\text{log}(\varepsilon^2 - r)} \sum ^{\infty}_{n=1}\frac{(\text{log} n)^{r-1}}{n^{3/2}}E \Bigl\{ M_n - (\varepsilon + a_n(\varepsilon ))\sigma \sqrt{2n \text{log log} n} \Bigr\}_{+} = \frac{2\sigma \varepsilon^{-2\tau \sqrt{r}}}{\sqrt{2\pi}r}$$ виконуються тодi i тiльки тодi, коли $EX = 0, EX^2 = \sigma^2$ та $EX^2(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} | X| )^{r-1}(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} | X| )^{-\frac 12} < \infty$