Tauberian conditions under which convergence follows from the weighted mean summability and its statistical extension for sequences of fuzzy number

Z. Önder; İ. Çanak

doi:10.37863/umzh.v73i8.584

Автор(и)

Z. Önder Ege Univ., Izmir, Turkey
İ. Çanak Ege Univ., Izmir, Turkey

DOI:

https://doi.org/10.37863/umzh.v73i8.584

Ключові слова:

Sequences of fuzzy numbers, slow oscillation, slow oscillation relative to

$(P_n)$ , statistical convergence, two-sided conditions of Hardy type, Tauberian theorems, weighted mean summability method

Анотація

УДК 517.5

Тауберові умови, за яких збіжність випливає з середньовагової сумовності, та їх статистичне розширення на послідовності нечітких чисел

Нехай $(p_n)$ - послідовність невід'ємних чисел таких, що $p_0>0$ і
$P_n:=\sum_{k=0}^{n}p_k\to\infty\qquad \text{при}\qquad n\to\infty.$
Нехай $(u_n)$ - послідовність нечітких чисел.
Вагове середнє для $(u_n)$ визначається як
$t_n:=\frac{1}{P_n}\sum_{k=0}^{n}p_k u_k\qquad \text{для}\qquad n =0,1,2,\ldots \,.$
Відомо, що з існування границі $\lim u_n=\mu_{0}$ випливає $\lim t_n=\mu_{0}.$
Для існування границі $st$ - $\lim t_n=\mu_{0}$ вимагається обмеженість $(u_n)$ як додаткова умова до існування границі $\lim u_n=\mu_{0}.$
Але обернена імплікація взагалі не є правильною.
У цій роботі запропоновано тауберові умови, за яких існування границі $\lim u_n=\mu_{0}$ випливає з того, що $\lim t_n=\mu_{0}$ або $st$ - $\lim t_n=\mu_{0}.$
Ці тауберові умови виконуються, якщо $(u_n)$ задовольняє двосторонні умови типу Гарді відносно $(P_n).$

Посилання

L. A. Zadeh, Fuzzy sets, Inform. and Control, 8, 338 – 353 (1965). DOI: https://doi.org/10.1016/S0019-9958(65)90241-X

D. Dubois, H. Prade, Operations on fuzzy numbers, Internat. J. Systems Sci., 9, № 6, 613 – 626 (1978), https://doi.org/10.1080/00207727808941724 DOI: https://doi.org/10.1080/00207727808941724

R. Goetschel, W. Voxman, Elementary fuzzy calculus, Fuzzy Sets and Systems, 18, № 1, 31 – 43 (1986), https://doi.org/10.1016/0165-0114(86)90026-6 DOI: https://doi.org/10.1016/0165-0114(86)90026-6

M. Matloka, Sequences of fuzzy numbers, Busefal, 28, 28 – 37 (1986).

S. Nanda, On sequences of fuzzy numbers, Fuzzy Sets and Systems, 33, № 1, 123 – 126 (1989), https://doi.org/10.1016/0165-0114(89)90222-4 DOI: https://doi.org/10.1016/0165-0114(89)90222-4

B. C. Tripathy, A. Baruah, M. Et, M. Gungor, On almost statistical convergence of new type of generalized difference sequence of fuzzy numbers, Iran. J. Sci. and Technol. Trans. A Sci., 36, № 2, 147 – 155 (2012).

I. ¸Canak, On the Riesz mean of sequences of fuzzy real numbers, J. Intell. Fuzzy Systems, 26, № 6, 2685 – 2688 (2014), https://doi.org/10.3233/IFS-130938 DOI: https://doi.org/10.3233/IFS-130938

Z. Önder, S. A. Sezer, I. ¸Canak, A Tauberian theorem for the weighted mean method of summability of sequences of fuzzy numbers, J. Intell. Fuzzy Systems, 28, № 3, 1403 – 1409 (2015). DOI: https://doi.org/10.3233/IFS-141424

H. Fast, Sur la convergence statistique, Colloq. Math., 2, 241 – 244 (1951), https://doi.org/10.4064/cm-2-3-4-241-244 DOI: https://doi.org/10.4064/cm-2-3-4-241-244

I. J. Schoenberg, The integrability of certain functions and related summability methods, Amer. Math. Monthly, 66, 361 – 375 (1959), https://doi.org/10.2307/2308747 DOI: https://doi.org/10.2307/2308747

A. Zygmund, Trigonometric series, Cambridge Univ. Press (1959).

F. Nuray, E. Sava¸s, Statistical convergence of sequences of fuzzy numbers, Math. Slovaca, 45, № 3, 269 – 273 (1995).

E. Sava¸s, On statistically convergent sequences of fuzzy numbers, Inform. Sci., 137, 277 – 282 (2001), https://doi.org/10.1016/S0020-0255(01)00110-4 DOI: https://doi.org/10.1016/S0020-0255(01)00110-4

S. Aytar, S. Pehlivan, Statistical convergence of sequences of fuzzy numbers and sequences of $α$ -cuts, Int. J. Gen. Syst., 37, № 2, 231 – 237 (2008), https://doi.org/10.1080/03081070701251075 DOI: https://doi.org/10.1080/03081070701251075

F. Ba¸sar, Summability theory and its applications, Bentham Sci. Publ., (2012). DOI: https://doi.org/10.2174/97816080545231120101

J. S. Kwon, On statistical and $p$ -Cesaro convergence of fuzzy numbers ` , Korean J. Comput. and Appl. Math., 7, № 1, 195 – 203 (2000). DOI: https://doi.org/10.1007/BF03009937

Ö. Talo, F. Ba¸sar, On the slowly decreasing sequences of fuzzy numbers, Abstr. and Appl. Anal., 2013, Article ID 891986 (2013), 7 p., https://doi.org/10.1155/2013/891986 DOI: https://doi.org/10.1155/2013/891986

Ö. Talo, C. Bal, On statistical summability $(N,P)$ of sequences of fuzzy numbers, Filomat, 30, № 3, 873 – 884 (2016), https://doi.org/10.2298/FIL1603873T DOI: https://doi.org/10.2298/FIL1603873T

M. Et, B. C. Tripathy, A. J. Dutta, On pointwise statistical convergence of order $alpha$ of sequences of fuzzy mappings, Kuwait J. Sci., 41, № 3, 17 – 30 (2014).

F. Moricz, Ordinary convergence follows from statistical summability $(C, 1)$ in the case of slowly decreasing or oscillating sequences, Colloq. Math., 99, № 2, 207 – 219 (2004), https://doi.org/10.4064/cm99-2-6 DOI: https://doi.org/10.4064/cm99-2-6

F. Moricz, Theorems relating to statistical harmonic summability and ordinary convergence of slowly decreasing or oscillating sequences, Analysis, 24, № 2, 127 – 145 (2004), https://doi.org/10.1524/anly.2004.24.14.127 DOI: https://doi.org/10.1524/anly.2004.24.14.127

D. Dubois, H. Prade, Fuzzy sets and systems, Acad. Press (1980).

B. Bede, Mathematics of fuzzy sets and fuzzy logic, Springer (2013), https://doi.org/10.1007/978-3-642-35221-8 DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-35221-8

P. V. Subrahmanyam, Cesàro summability for fuzzy real numbers. $p$ -adic analysis, summability theory, fuzzy analysis and applications (INCOPASFA) (Chennai, 1998) ` , J. Anal., 7, 159 – 168 (1999).

G. A. Mikhalin, Theorems of Tauberian type for $(J,,p n)$ summation methods, Ukr. Math. J., 29, № 6, 564 – 569 (1977). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01085962

J. Boos, Classical and modern methods in summability, Oxford Univ. Press (2000).

Tauberian conditions under which convergence follows from the weighted mean summability and its statistical extension for sequences of fuzzy number

Автор(и)

DOI:

Ключові слова:

Анотація

Посилання

Завантаження

Опубліковано

Номер

Розділ

Як цитувати

Мова

Інформація