Результати про iснування розв’язкiв для одного класу систем типу Кiрхгофа з комбiнованими нелiнiйними ефектами

Анотація

УДК 517.9
Розглянуто проблему iснування додатних розв’язкiв нелiнiйної системи \begin{align*} &-M_1\left(\displaystyle\int\limits_\Omega |\nabla u|^{p}\,dx\right) {\rm div}\,(|x|^{-ap}|\nabla u|^{p-2}\nabla u)=\lambda |x|^{-(a+1)p+c_{1}}f(u,\upsilon),\quad x\in \Omega, \\ &-M_2\left(\displaystyle\int\limits_\Omega |\nabla v|^{q}\,dx\right) {\rm div}\,(|x|^{-bq}|\nabla \upsilon|^{q-2}\nabla \upsilon)=\lambda |x|^{-(b+1)q+c_{2}}g(u,\upsilon),\quad x\in \Omega, \\ &\,\,\,u=\upsilon =0,\quad x\in \partial \Omega, \end{align*} де $\Omega$ — обмежена гладка область в $R^N$ з $0 \in \Omega,\; 1 < p, q < N, 0 \leq a < \cfrac{N-p}{p}, 0 \leq b < \cfrac{N-q}{p},$ а $c_1, c_2, \lambda$ — додатнi параметри. Величини $M_1,M_2, f$ та $g$ задовольняють деякi умови. Нашi результати отримано за допомогою методу суб- та суперрозв’язкiв.