Застосування теорiї нескiнченних матриць до розв’язання вiдношень включення для просторiв послiдовностей з операторами

Анотація

УДК 517.9
Для заданої послідовності додатних дійсних чисел $a=(a_{n})_{n\geq 1}$ і будь-якої множини комплексних послідовностей $E$ вираз $E_{a}$ позначає множину всіх послідовностей $y=(y_{n})_{n\geq 1}$ таких, що $y/a=(y_{n}/a_{n})_{n\geq 1}\in E.$ Зокрема, $c_{a}$ позначає множину всіх послідовностей $y$ таких, що $y/a$ збігається. Розглянуто відношення включення для просторів послідовностей (ВВПП) вигляду $F\subset E_{a}+F_{x}'$ з $e\in F,$ а також знайдено явні розв'язки цих ВВПП у випадку, коли $a=(r^{n})_{n\geq 1},$ $F$ --- це $c$ або $s_{1},$ а $E$ і $F'$ --- будь-які з множин $c_{0},$ $c,$ $s_{1},$ $\ell_{p},$ $w_{0}$ і $w_{\infty }.$ Крім того, визначено множини всіх додатних послідовностей, що задовольняють кожне з ВВПП $c\subset D_{r}\ast (c_{0})_{\Delta }+c_{x}$ і $c\subset D_{r}\ast (s_{1})_{\Delta}+c_{x},$ де $\Delta $ --- оператор першої різниці, визначений як $\Delta _{n}y=y_{n}-y_{n-1}$ для всіх $n\geq 1$ з $y_{0}=0.$ Також розв'язано ВВПП $c\subset D_{r}\ast E_{C_{1}}+s_{x}^{(c)},$ де $E\in \{ c,s_{1}\} ,$ $s_{1}\subset D_{r}\ast(s_{1}) _{C_{1}}+s_{x},$ а $C_{1}$ --- оператор Чезаро, визначений як сума $(C_{1}) _{n}y=n^{-1} \displaystyle \sum\nolimits_{k=1}^{n}y_{k}$ для всіх $y.$ Крім того, розглянуто питання про існування розв'язків рівнянь для просторів послідовностей (РПП), пов'язаних із попередніми ВВПП і визначених таким чином: $D_{r}\ast E_{C_{1}}+s_{x}^{(c)}=c$ з $E\in \{c_{0},c,s_{1}\} $ і $D_{r}\ast E_{C_{1}}+s_{x}=s_{1}$ з $E\in \{ c,s_{1}\}.$