Сравнение точных констант в неравенствах типа Колмогорова для периодических и непериодических функций многих переменных

Анотація

Досліджується взаємозв'язок між константами $K(ℝ^n)$ та $K(T^n)$, де $$K(G^n ): = \mathop {\sup }\limits_{\mathop {\prod _{i = 1}^n \left\| {D_i^{l_i } f} \right\|_{L_p (G^n )} \ne 0}\limits^{f \in L_{p,p}^l (G^n )} } \frac{{\left\| {D^\alpha f} \right\|_{L_p (G^n )} }}{{\left\| f \right\|_{L_p (G^n )}^{\mu _0 } \prod _{i = 1}^n \left\| {D_i^{l_i } f} \right\|_{L_p (G^n )}^{\mu _i } }}$$ —точна константа в нерівності типу Колмогорова; $ℝ$ — дійсна пряма, $T = [0,2π],\; L^l_{p, p} (G^n)$— множина функцій $ƒ ∈ L_p (G^n)$ таких, що частинна похідна $D_i^{l_i} f(x),\; i = \overline {1,n}, 1 ≤ p ≤ ∞, l ∈ ℕ^n, α ∈ ℕ_0^n = (ℕ ∪ 〈0〉)^n, D^{α} f$— мішана похідна функції $ƒ, 0 < µi < 1, i = \overline {0,n}$, $∑_{i=0}^n µ_i = 1$. Якщо $G^n = ℝ$, то $µ_0 = 1 − ∑_{i=0}^n (α_i /l_i),\; µ_i = α_i/l_i,\; i = \overline {1,n}$; якщо $G^n = T^n$, то $µ_0 = 1 − ∑_{i=0}^n (α_i /l_i) − ∑_{i=0}^n (λ/l_i),\; µ_i = α_i/ l_i + λ/l_i , i= \overline {1,n},\; λ ≥ 0$. Доведено, що при $λ = 0$ справджується рівність $K(ℝ^n) = K(T^n)$.