On regularization by a small noise of multidimensional ODEs with non-Lipschitz coefficients

Анотація

УДК 519.21

Про регуляризацiю малим шумом багатовимiрних звичайних диференцiальних рiвнянь з нелiпшицевими коефiцiєнтами

Статтю присвячено знаходженню границі розв'язків багатовимірних стохастичних диференціальних рівнянь
$d X^{\epsilon}(t)=a(X^{\epsilon}(t))\, d t+{\epsilon}\sigma(X^{\epsilon}(t))\, d W(t)$ при ${\epsilon} \to 0,$
де коефіцієнти переносу та дифузії є локально ліпшицевими функціями ззовні фіксованої гіперплощини $H.$
Припускається, що $X^{\epsilon}(0)=x^0\in H,$ коефіцієнт переносу $a(x)$ має гельдерову асимптотику, коли $x$ наближається до $H,$ і граничне звичайне диференціальне рівняння $d X(t)=a(X(t))\, d t$ може не мати єдиного розв'язку.
Доведено, що якщо перенос відштовхує розв'язок від гіперплощини $H,$ то граничний процес із певними ймовірностями вибирає деякі екстремальні розв'язки граничного диференціального рівняння. Якщо перенос притягує розв'язок
до $H,$ то граничний процес задовольняє звичайне диференціальне рівняння з усередненими коефіцієнтами. Для доведення останнього результату сформульовано новий достатньо загальний принцип усереднення.