On regularization by a small noise of multidimensional ODEs with non-Lipschitz coefficients
Анотація
УДК 519.21
Про регуляризацiю малим шумом багатовимiрних звичайних диференцiальних рiвнянь з нелiпшицевими коефiцiєнтами
Статтю присвячено знаходженню границі розв'язків багатовимірних стохастичних диференціальних рівнянь
$d X^{\epsilon}(t)=a(X^{\epsilon}(t))\, d t+{\epsilon}\sigma(X^{\epsilon}(t))\, d W(t)$ при ${\epsilon} \to 0,$
де коефіцієнти переносу та дифузії є локально ліпшицевими функціями ззовні фіксованої гіперплощини $H.$
Припускається, що $X^{\epsilon}(0)=x^0\in H,$ коефіцієнт переносу $a(x)$ має гельдерову асимптотику, коли $x$ наближається до $H,$ і граничне звичайне диференціальне рівняння $d X(t)=a(X(t))\, d t$ може не мати єдиного розв'язку.
Доведено, що якщо перенос відштовхує розв'язок від гіперплощини $H,$ то граничний процес із певними ймовірностями вибирає деякі екстремальні розв'язки граничного диференціального рівняння. Якщо перенос притягує розв'язок
до $H,$ то граничний процес задовольняє звичайне диференціальне рівняння з усередненими коефіцієнтами. Для доведення останнього результату сформульовано новий достатньо загальний принцип усереднення.
Посилання
F. Attanasio, F. Flandoli, Zero-noise solutions of linear transport equations without uniqueness: an example, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, 347, no. 13-14, 753 – 756 (2009), https://doi.org/10.1016/j.crma.2009.04.027 DOI: https://doi.org/10.1016/j.crma.2009.04.027
R. Bafico, On the convergence of the weak solutions of stochastic differential equations when the noise intensity goes to zero, Boll. Unione Mat. Ital., 5, no. 1, 308 – 324 (1980).
R. Bafico, P. Baldi, Small random perturbations of Peano phenomena, Stochastics, 6, No. 3-4, 279 – 292 (1982), https://doi.org/10.1080/17442508208833208 DOI: https://doi.org/10.1080/17442508208833208
R. Buckdahn, Y. Ouknine, M. Quincampoix, On limiting values of stochastic differential equations with small noise intensity tending to zero, Bull. Sci. Math., 133, 229 – 237 (2009), https://doi.org/10.1016/j.bulsci.2008.12.005 DOI: https://doi.org/10.1016/j.bulsci.2008.12.005
V. S. Borkar, K. Suresh Kumar, A new Markov selection procedure for degenerate diffusions, J. Theor. Probab., 23, No. 3, 729 – 747 (2010), https://doi.org/10.1007/s10959-009-0242-6 DOI: https://doi.org/10.1007/s10959-009-0242-6
F. Delarue, F. Flandoli, The transition point in the zero noise limit for a 1D Peano example, Discrete Contin. Dyn. Syst., 34, No. 10, 4071 – 4083 (2014), https://doi.org/10.3934/dcds.2014.34.4071 DOI: https://doi.org/10.3934/dcds.2014.34.4071
F. Delarue, F. Flandoli, D. Vincenzi, Noise prevents collapse of Vlasov – Poisson point charges, Commun. Pure and Appl. Math., 67, No. 10, 1700 – 1736 (2014), https://doi.org/10.1002/cpa.21476 DOI: https://doi.org/10.1002/cpa.21476
F. Delarue, M. Maurelli, Zero noise limit for multidimensional SDEs driven by a pointy gradient (2019), arXiv preprint arXiv:1909.08702.
N. Dirr, S. Luckhaus, M. Novaga, A stochastic selection principle in case of fattening for curvature flow, Calc. Var. Part. Different. Equat., 13, No. 4, 405 – 425 (2001), https://doi.org/10.1007/s005260100080 DOI: https://doi.org/10.1007/s005260100080
H. J. Engelbert, W. Schmidt, Strong Markov continuous local martingales and solutions of one-dimensional stochastic differential equations (Part III), Math. Nachr., 151, No. 1, 149 – 197 (1991), https://doi.org/10.1002/mana.19911510111 DOI: https://doi.org/10.1002/mana.19911510111
A. Friedman, Partial differential equations of parabolic type, Prentice-Hall, New York (1964).
S. Herrmann, Phénomène de Peano et grandes déviations. (French) , C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, ´ 332, No. 11, 1019 – 1024 (2001), https://doi.org/10.1016/S0764-4442(01)01983-8 DOI: https://doi.org/10.1016/S0764-4442(01)01983-8
N. Ikeda, S. Watanabe, Stochastic differential equations and diffusion processes, North-Holland Math. Library, 24, North-Holland Co. Publ., Amsterdam etc. (1981).
I. Karatzas, S. E. Shreve, Brownian motion and stochastic calculus, Springer, New York (1988), https://doi.org/10.1007/978-1-4684-0302-2 DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4684-0302-2
I. G. Krykun, S. Ya. Makhno, The Peano phenomenon for Ito equations, J. Math. Sci., 192, No. 4, 441 – 458 (2013), https://doi.org/10.1007/s10958-013-1407-5 DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-013-1407-5
A. Kulik, Ergodic behavior of Markov processes, de Gruyter, Berlin, Boston (2017). DOI: https://doi.org/10.1515/9783110458930
A. Kulik, I. Pavlyukevich, Moment bounds for dissipative semimartingales with heavy jumps, http://arxiv.org/abs/2004.12449.
I. Pavlyukevich, A. Pilipenko, Generalized selection problem with Levy noise ´ (2020), arXiv preprint arXiv: 2004.05421.
A. Pilipenko, F. N. Proske, On a selection problem for small noise perturbation in the multidimensional case, Stoch. and Dyn., 18, No. 6 (2018), 23 p., https://doi.org/10.1142/S0219493718500454 DOI: https://doi.org/10.1142/S0219493718500454
A. Pilipenko, F. N. Proske, On perturbations of an ODE with non-Lipschitz coefficients by a small self-similar noise, Statistics & Probab. Lett., 132, 62 – 73 (2018), https://doi.org/10.1016/j.spl.2017.09.005. DOI: https://doi.org/10.1016/j.spl.2017.09.005
D. Trevisan, Zero noise limits using local times, Electron. Commun. Probab., 18, No. 31 (2013), 7 pp., https://doi.org/10.1214/ECP.v18-2587 DOI: https://doi.org/10.1214/ECP.v18-2587
A. Veretennikov, On strong solutions and explicit formulas for solutions of stochastic integral equations, Sb. Math., 111(153), No. 3, 387 – 403 (1981).
Авторські права (c) 2020 Андрій Пилипенко, Олексій Кулик
![Creative Commons License](http://i.creativecommons.org/l/by/4.0/88x31.png)
Для цієї роботи діють умови ліцензії Creative Commons Attribution 4.0 International License.