Estimates of approximation characteristics and properties of operators of the best approximation for the classes of periodic functions in the space $B_{1,1}$
Abstract
UDC 517.51
We obtain the exact-order estimates for orthoprojection widths and similar approximation characteristics of the Sobolev classes $W^{\boldsymbol{r}}_{p,\boldsymbol{\alpha}}$ and Nikol'skii–Besov classes $B^{\boldsymbol{r}}_{p,\theta}$ of periodic functions of one and several variables in the norm of the space $B_{1,1}$.
In addition, we establish that the sequence of norms of linear operators that realize the orders of the best approximation of the classes $B^{\boldsymbol{r}}_{1,\theta}$ in space $B_{1,1}$ using trigonometric polynomials with ``numbers'' of harmonics from step hyperbolic crosses is unbounded in the multidimensional case.
References
А. С. Романюк, Энтропийные числа и поперечники классов $B^r_{p,θ}$ периодических функций многих переменных, Укр. мат. журн., 68, № 10, 1403–1417 (2016).
М. В. Гембарський, С. Б. Гембарська, Поперечники класів $B^{Ω}_{p,θ}$ періодичних функцій багатьох змінних у просторі $B_{1,1}$, Укр. мат. вісн., 15, № 1, 43–57 (2018).
D. Dung, V. N. Temlyakov, T. Ullrich, Hyperbolic cross approximation, Adv. Courses Math., Birkhäuser, CRM Barselona (2019).
А. С. Романюк, Аппроксимативные характеристики классов периодических функций многих переменних, Праці Ін-ту математики НАН України, 93, (2012).
П. И. Лизоркин, С. М. Никольский, Пространства функций смешанной гладкости с декомпозиционной точки зрения, Тр. Мат. ин-та АН СССР, 187, 143–161 (1989).
Т. И. Аманов, Теоремы представления и вложения для функциональных пространств $S^{(r)}_{p,θ}B(R_n)$ и $S^{(r)_*}_{p,θ}B$ $(0≤ x_j≤ 2π$; $j=1,…,n)$, Тр. Мат. ин-та АН СССР, 77, 5–34 (1965).
В. Н. Темляков, Приближение функций с ограниченной смешанной производной, Тр. Мат. ин-та АН СССР, 178, 1–112 (1986).
V. N. Temlyakov, Approximation of periodic function, Nova Sci. Publ., Inc., New York (1993).
А. С. Романюк, В. С. Романюк, Апроксимаційні характеристики класів періодичних функцій багатьох змінних у просторі $B_{∞,1}$, Укр. мат. журн., 71, № 2, 271–282 (2019).
А. С. Романюк, В. С. Романюк, Оцінки деяких апроксимаційних характеристик класів періодичних функцій однієї та багатьох змінних, Укр. мат. журн., 71, № 8, 1102–1115 (2019).
В. Н. Темляков, Поперечники некоторых классов функций нескольких переменных, Докл. АН СССР, 267, № 2, 314–317 (1982).
Динь Зунг, Приближение функций многих переменных на торе тригонометрическими полиномами, Мат. сб., 131(173), № 2, 251–271 (1986).
Э. М. Галеев, Порядки ортопроекционных поперечников классов периодических функций одной и нескольких переменных, Мат. заметки, 43, № 2, 197–211 (1988).
В. Н. Темляков, Оценки асимптотических характеристик классов функций с ограниченной смешанной про-изводной или разностью, Тр. Мат. ин-та АН СССР, 189, 138–168 (1989).
Э. М. Галеев, Приближение классов периодических функций нескольких переменных ядерными операторами, Мат. заметки, 47, № 3, 32–41 (1990).
А. В. Андрианов, В. Н. Темляков, О двух методах распространения свойств систем функций от одной переменной на их тензорное произведение, Тр. Мат. ин-та РАН, 219, 32–43 (1997).
А. С. Романюк, Оценки аппроксимативных характеристик классов Бесова $B^r_{p, θ}$ периодических функций многих переменных в пространстве $L_q.$ I, Укр. мат. журн., 53, № 9, 1224–1231 (2001).
А. С. Романюк, Оценки аппроксимативных характеристик классов Бесова $B^r_{p, θ}$ периодических функций многих переменных в пространстве $L_q.$ II, Укр. мат. журн., 53, № 10, 1402–1408 (2001).
С. А. Стасюк, О. В. Федуник, Апроксимативні характеристики класів $B^{Ω}_{p,θ}$ періодичних функцій багатьох змінних, Укр. мат. журн., 58, № 5, 692–704 (2006).
А. С. Романюк, Наилучшие приближения и поперечники классов периодических функций многих переменных, Мат. сб., 199, № 2, 93–114 (2008).
Н. Н. Пустовойтов, Ортопоперечники классов многомерных периодических функций, мажоранта смешанных модулей непрерывности которых содержит как степенные, так и логарифмические множители, Anal. Math., 34, № 3, 187–224 (2008).
Г. А. Акишев, Об ортопоперечниках классов Никольского и Бесова в пространствах Лоренца, Изв. вузов. Математика, № 2, 25–33 (2009).
Д. Б. Базарханов, Оценки поперечников Фурье классов типа Никольского–Бесова и Лизоркина–Трибеля периодических функций многих переменных, Мат. заметки, 87, № 2, 305–308 (2010).
А. С. Романюк, Поперечники и наилучшее приближение классов $B^r_{p, θ}$ периодических функций многих переменных, Anal. Math., 37, 181–213 (2011).
Д. Б. Базарханов, Приближение всплесками и поперечники Фурье классов периодических функций многих переменных. II, Anal. Math., 38, № 4, 249–289 (2012).
K. A. Bekmaganbetov, Je. Toleugazy, Order of the orthoprojection widths of the anisotropic Nikol'skii–Besov classes in the anisotropic Lorentz space, Eurasian Math. J., 7, № 3, 8–16 (2016).
Ш. А. Балгимбаева, Т. И. Смирнов, Оценки поперечников Фурье классов периодических функций с заданной мажорантой смешанного модуля гладкости, Сиб. мат. журн., 59, № 2, 277–292 (2018).
O. V. Fedunyk-Yaremchuk, S. B. Hembars'ka, Estimates of approximative characteristics of the classes $B^{Ω}_{p,θ}$ of periodic functions of several variables with given majorant of mixed moduli of continuity in the space $L_q$, Carpathian Math. Publ., 11, № 2, 281–295 (2019).
A. Kolmogoroff, Über die beste Annäherung von Funktionen einer gegebenen Funktionenklasse, Ann. Math., 37, 107–110 (1936).
А. С. Романюк, Приближение классов $B^r_{p,θ}$ периодических функций многих переменных линейными методами и наилучшие приближения, Мат. сб., 195, № 2, 91–116 (2004).
J. Marcinkiewicz, Quelgues remargues sur l'interpolation, Acta Math. (Szeged), 8, № 2–3, 127–130 (1937).
А. С. Романюк, В. С. Романюк, Апроксимаційні характеристики і властивості операторів найкращого наближення класів функцій з просторів Соболєва та Нікольського–Бєсова, Укр. мат. вісн, 17, № 3, 372–395 (2020).
Copyright (c) 2021 Сергій Янченко
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
