On the symplectic structure deformations related to the Monge–Ampère equation on the Kähler manifold $P_{2}(\mathbb{C})$

A. A.  Balinsky; A. K.  Prykarpatski; P. Ya.  Pukach; M. I.  Vovk

doi:10.37863/umzh.v75i1.7320

A. A. Balinsky Math. Inst. Cardiff Univ., Great Britain
A. K. Prykarpatski Cracow Univ. Technology, Poland and Inst. Appl. Math. and Fundam. Sci., Lviv Polytechn. Nat. Univ., Ukraine
P. Ya. Pukach Inst. Appl. Math. and Fundam. Sci., Lviv Polytechn. Nat. Univ., Ukraine
M. I. Vovk Inst. Appl. Math. and Fundam. Sci., Lviv Polytechn. Nat. Univ., Ukraine

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v75i1.7320

Анотація

УДК 517.9

Про симплектичну структуру деформацій, пов'язаних з рівнянням Монжа-Ампера на кьолерівському многовиді $P_{2}(\mathbb{C})$

Проаналізовано когомологічну структуру фундаментальної двоформної деформації, що пов'язана з модифікованим типом Монжа–Ампера на комплексному кьолерівському многовиді $P_{2}(\mathbb{C}).$ На основі зв'язності Леві-Чивіта і пов'язаної з нею деформації векторного поля фундаментальної 2-форми побудовано ієрархію білінійних симет\-ричних форм на дотичному розшаруванні кьолерівському многовиду $P_{2}(\mathbb{C}),$ що породжує на ній ермітові метрики і відповідні розв'язки досліджуваного рівняння типу Монжа–Ампера. Узагальнено конструкцію класичної фундаментальної 2-форми на комплексному кьолерівському многовиді $P_{2}(\mathbb{C})$ та обговорено відповідні її метричні деформації.

Посилання

V. I. Arnol'd, Mathematical methods of classical mechanics, Grad. Texts Math., vol.~60, Springer-Verlag, New York, Berlin (1978).

V. I. Arnol'd, Singularities of smooth transformations, Uspekhi Mat. Nauk, 23, № 1, 1–44 (1968).

S. S. Chern, Complex manifolds, Univ. Chicago Publ. (1956).

S. K. Donaldson, Two-forms on four-manifolds and elliptic equation; sarXiv:math/0607083v1 [math.DG] 4 Jul 2006 (2018).

Ph. Delanoe, L'analogue presque-complexe de l'dequation de Calabi–Yau, Osaka J. Math., 33, 829–846 (1996).

C. Ehresmann, P. Libermann, Sur le probl`eme d'equivalence des formes differentielles exterieures quadratiques, C.~R. Acad. Sci. Paris, 229, 697–698 (1949).

A. Enneper, Nachr. Königl. Gesell. Wissensch., Georg-Augustus Univ. Göttingen, 12, 258–277 (1868).

A. M. Grundland, W. J. Zakrzewski, On certain geometric aspects of CP$^{N}$ harmonic maps, J. Math. Phys., 44, № 2, 813–822 (2003). DOI: https://doi.org/10.1063/1.1534384

D. Joyce, Compact manifolds with special holonomy, Oxford Univ. Press (2000).

S. Kolodziej, The complex Monge–Ampère equation, Acta Math., 180, 69–117 (1998). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02392879

B. G. Konopelchenko, I. A. Taimanov, Constant mean curvature surfaces via an integrable dynamical system, J. Phys. A, 29, 1261–1265 (1996). DOI: https://doi.org/10.1088/0305-4470/29/6/012

P. Libermann, Sur les structures presque complexes et autres structures infinitesimales iregulieres, Bull. Soc. Math. France, 83, 195–224 (1955). DOI: https://doi.org/10.24033/bsmf.1460

A. Lichnerowicz, Theorie globale des connexions et des groupes d'holonomie, Cremonese, Roma (1955).

J. D. Moore, Lectures on Seiberg–Witten invariants, Springer, New York (2001).

J. Moser, On the volume elements on a manifold, Trans. Amer. Math. Soc., 120, 286–294 (1965). DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1965-0182927-5

N. Nijenhuis, W. B. Woolf, Some integration problems in almost-complex and complex manifolds, Ann. Math., 77, 424–489 (1963). DOI: https://doi.org/10.2307/1970126

W. Nongue, Z. Peng, On a generalized Calabi–Yau equation}; arxiv:0911.0784.

N. Levinson, A polynomial canonical form for certain analytic functions of two variables at a critical point, Bull. Amer. Math. Soc., 66, 366–368 (1960). DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1960-10453-3

Yu. Moser, Curves invariant under those transformations of a ring which preserve area, Matematika, 6, № 5, 51–67 (1962).

A. M. Samoilenko, The equivalence of a smooth function to a Taylor polynomial in the neighborhood of a finite-type critical point, Funct. Anal. and Appl., 2, 318–323 (1968); https://doi.org/10.1007/BF01075684. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01075684

A. M. Samoilenko, Some results on the local theory of smooth functions, Ukrainian Math. J., 59, № 2, 243–292 (2007). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-007-0019-y

A. M. Samoilenko, Elements of the mathematical theory of multi-frequency oscillations, Math. and Appl., vol. 71, Kluwer, Dordrecht, Netherlands (1991). DOI: https://doi.org/10.1007/978-94-011-3520-7

J. C. Tougeron, Theses, Univ. de Rennes, May (1967).

Tseng Li-Sheng, S.-T. Yau, Cohomology and Hodge theory on symplectic manifolds, I, II, III (2009); arXiv:0909.5418.

K. Weierstrass, Fortsetzung der Untersuchung über die Minimalflachen, Math. Werke, vol.~3, 219–248 (1866).

A. Weil, Introduction `a l'Etude des variétés Kählériennes, Hermann, Paris (1958) (Publ. Inst. Math. Univ. Nancago, VI).

R. O. Wells, Differential analysis on complex manifolds, Prentice Hall Inc., NJ (1973).

S.-T. Yau, On the Ricci curvature of compact Kähler manifold and the complex Monge–Ampère equation. I, Commun. Pure and Appl. Math., 31, 339–411 (1978). DOI: https://doi.org/10.1002/cpa.3160310304

W. J. Zakrzewski, Surfaces in ${R}^{N^{2}-1}$ based on harmonic maps ${S}^{2}→ CP^{N-1}$, J. Math. Phys., 48, № 11, 113520(8) (2007). DOI: https://doi.org/10.1063/1.2815906