A refinement of Schwarz's lemma at the boundary

Bülent Nafi Örnek

doi:10.3842/umzh.v74i4.7364

Bülent Nafi Örnek Department of Computer Engineering, Amasya University, Turkey

DOI: https://doi.org/10.3842/umzh.v74i4.7364

Анотація

УДК 517.5

Уточнення леми Шварца на межі

Досліджено граничну версію леми Шварца для аналітичних функцій. Крім того, аналітичну функцію, що задовольняє випадок рівності, знайдено шляхом отримання нерівностей, які пов’язані з модулем похідної аналітичних функцій у певній граничній точці одиничного круга. В цих нерівностях розглядаються деякі коефіцієнти, що використовуються в розкладі Тейлора даної функції. В останній теоремі, враховуючи розклад Тейлора в околі двох точок, отримано модуль похідної функції в точці 1.

Посилання

T. Aliyev Azeroğlu, B. N. Örnek, A refined Schwarz inequality on the boundary, Complex Var. and Elliptic Equat., 58, 571–577 (2013). DOI: https://doi.org/10.1080/17476933.2012.718338

H. P. Boas, Julius and Julia: mastering the art of the Schwarz lemma, Amer. Math. Monthly, 117, 770–785 (2010). DOI: https://doi.org/10.4169/000298910x521643

V. N. Dubinin, The Schwarz inequality on the boundary for functions regular in the disc, J. Math. Sci., 122, 3623–3629 (2004). DOI: https://doi.org/10.1023/B:JOTH.0000035237.43977.39

G. M. Golusin, Geometric theory of functions of complex variable} (in Russian), 2nd ed., Moscow (1966).

M. Mateljević, N. Mutavdžć, B. N. Örnek, Note on some classes of holomorphic functions related to Jack's and Schwarz's lemma, Appl. Anal. and Discrete Math., 16, 111–131 (2022). DOI: https://doi.org/10.2298/AADM200319006M

P. R. Mercer, Boundary Schwarz inequalities arising from Rogosinski's lemma, J. Class. Anal., 12, 93–97 (2018). DOI: https://doi.org/10.7153/jca-2018-12-08

R. Osserman, A sharp Schwarz inequality on the boundary, Proc. Amer. Math. Soc., 128, 3513–3517 (2000). DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9939-00-05463-0

B. N. Örnek, Estimates for analytic functions connected with Hankel determinant, Ukr. Math. J., 73, 1398–1411 (2022). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-022-02001-9

B. N. Örnek, T. Düzenli, Boundary analysis for the derivative of driving point impedance functions, IEEE Trans. Circuits and Syst. II. Express Briefs, 65, № 9, 1149–1153 (2018). DOI: https://doi.org/10.1109/TCSII.2018.2809539

B. N. Örnek, Sharpened forms of the Schwarz lemma on the boundary, Bull. Korean Math. Soc., 50, 2053–2059 (2013). DOI: https://doi.org/10.4134/BKMS.2013.50.6.2053

B. N. Örnek, S. B. Aydemir, T. Düzenli, B. Özak, Some remarks on activation function design in complex extreme learning using Schwarz lemma, Neurocomputing, 492, 23–33 (2022). DOI: https://doi.org/10.1016/j.neucom.2022.04.010

Ch. Pommerenke, Boundary behaviour of conformal maps, Springer-Verlag, Berlin (1992). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-02770-7

H. Unkelbach, Über die Randverzerrung bei konformer Abbildung, Math. Z., 43, 739–742 (1938). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01181115