Infinite non-Abelian groups where all the infinite non-Abelian subgroups are invariant

Abstract

Такие группы ($\bar {IH}$-группы) исследуются в этой работе при условии, что любая отличная от единицы конечнопорожденная подгруппа имеет подгруппу отличного от единицы конечного индекса (локальная ступенчатость). В работе дано полное описание неметагамильтоновых $\bar {IH}$-групп, удовлетворяющих этому условию. В ней получены также некоторые результаты и для метагамильтоновых локально ступенчатых групп. Метагамильтоновой называется произвольная (конечная или бесконечная) неабелева группа, в которой все неабелевы подгруппы инвариантны. Основные результаты работы можно сформулировать следующим образом.

При условии локальной ступенчатости:

1)      $\bar {IH}$-группы разрешимы;

2)      коммутант метагамильтоновой группы примарен и конечен;

3)      непериодическая $\bar {IH}$-группа метагамильтонова и ее коммутант является конечной примарной абелевой группой;

4)      неметагамильтонова $\bar {IH}$-группа $\mathfrak S$ является конечным расширением $р$-группы $\mathfrak B$, разлагающейся в прямое произведение конечного числа квазициклических групп, причем — квазициклическая группа, содержащаяся в центре группы $\mathfrak S$, если коммутант $\mathfrak Sʹ$ последней конечен;

5)      в случае неметагамильтоновой $\bar {IH}$-группы $\mathfrak S$ с бесконечным коммутантом $\mathfrak Sʹ$ фактор-группа $\mathfrak S / \mathfrak B$ нильпотентна и $\mathfrak B\subset \mathfrak Sʹ$;

6)      периодическая $\bar {IH}$-группа имеет инвариантную дополняемую в ней силовскую $р$-подгруппу с нильпотентным дополнением, имеющим не более одной неабелевой силовской подгруппы.