Об одном способе построения нормальных в смысле А. Н. Тихонова решений систем линейных уравнений

Анотація

В статье рассматривается совместная система г линейных уравнении с $r$ неизвестными вида $AX = B$, где $A$ — $r´n$-матрица, $B$ — $r$-мерный и $X$ — $n$-мерный векторы. Решение такой системы называется нормальным (в смысле Тихонова), если оно по сравнению со всеми другими решениями имеет минимальную евклидову норму.

Установлено, что уравнение $AX = B$ разрешимо тогда и только тогда, когда разрешимо уравнение $AA*Y = B$ и что, каково бы ни было его решение $Y$ нормальное решение $X^0$ уравнения $AX = B$ может быть выражено по формуле $X^0 – A*Y$ и что $||X^0||^2=(Y,B)$.

Этот результат применяется для разыскания в любом унитарном пространстве и любых линейных связях полинома, наименее уклоняющегося от нуля.