Concerning the problem on stability of analytical motions

Abstract

В статті розглядається система диференціальних рівнянь

\[\frac{dx_s}{dt}=X_s(x_1,x_2,\dots , x_n,t),\quad s=1,2,\dots, n\]

 з рівномірно аналітичними правими частинами в множині $M= \{(x, t); |x_s-x^0_s|<r_s, |t-t_0|<\sigma \}$ і установлюється алгоритм дослідження загальної задачі про стійкість руху, не зв’язаний з обчисленням характеристичних чисел чи побудовою функцій Ляпунова. Алгоритм засновано на фактичній побудові аналітичних розв’язків у виглядів рядів

\[x_s=\sum^\infty_{r=0}a_{Sr}(x^0_s)w^r,\]

розміщених за незалежною змінною А. Пуанкаре

\[W=[e^{\frac{\pi}{2\bar\varrho}(t-t_0)}-1][ e^{\frac{\pi}{2\bar\varrho}(t-t_0)}+1],\]

де $\bar\varrho\leq\sigma^0=min\left(\int_0^B\frac{d\beta}{W(\beta)},\sigma\right)$

і

$B=max(r_1,r_2,\dots,r_n,\sigma)$,

\[W(\beta)=max\left(\frac{B}{r_s}|X_s| \mbox{ при } |x^0_s-x_s|=\bar{r_s}{b}\beta, \quad |t_0-t|=\frac{\sigma}{B}\beta\right),\]

з подальшим застосуванням однієї теореми Шура про збіжність.

Оцінка області початкових значень$ x^0_s$, $t_0$, що породжують стійкі рухи $x_s(t;x^0_s;t_0)$ знаходиться із нерівності

\[R[\Lambda_{\sigma m}(a_{sr},t_0)]>\varepsilon \quad (\varepsilon >0 – const),\]

де $R [\dots]$ — $R$-кон’юнкція від визначників Шура, означена формулою

\[f_s \wedge_1f_k=f_s+f_k-\sqrt{f_k^2+f_s^2}.\]