Розв'язність крайових задач для нелінійних дробових диференціальних рівнянь

Анотація

Розглянуто існування нетривіальних розв'язків крайової задачі для нелінійних дробових диференціальних рівнянь $$D^{α}u(t)+λ[f(t,u(t))+q(t)]=0,\; 0 < t < 1, \; u(0) = 0,\; u(1) = βu(η),$$ де $λ > 0$ — параметр, $1 < α ≤ 2,\; η ∈ (0, 1),\; β ∈ \mathbb{R} = (−∞,+∞),\; βη^{α−1} ≠ 1,\; D^{α}$ —диференціальний оператор Рімана-Ліувілля порядку $α$, функція $f: (0,1)×\mathbb{R}→\mathbb{R}$ неперервна, до того ж $f$ може бути сингулярною при $t = 0$ та (або) $q(t) : [0, 1] → [0, +∞)$ неперервна. Наведено деякі достатні умови для існування нетривіальних розв'язків вказаних крайових задач. Застосований у дослідженнях підхід базується на нелінійній альтернативі Лерея - Шаудера. Зокрема, не використовується припущення про невід'ємність, а також монотонність функції $f$ , що було істотним для методики, застосованої майже в усіх описаних у літературі дослідженнях.