Inequalities for complex rational functions

Анотація

УДК 517.5

Нерiвностi для комплексних рацiональних функцiй

Для раціональної функції $r(z)=p(z)/H(z),$ що має всі нулі у $|z|\leq 1,$ виконується нерівність
$$\begin{equation*} |r'(z)|\geq\dfrac{1}{2}|B'(z)||r(z)|\quad \text{для}\quad |z|=1, \end{equation*}$$
де $H(z)=\prod_{j=1}^n(z-c_j),$ $|c_j|>1,$ $n$ – додатне ціле, $B(z)=H^*(z)/H(z)$ і $H^*(z)=z^n\overline{H(1/\overline{z})}.$
У цій роботі вказану нерівність удосконалено для раціональної функції $r(z)$ із нулями у $|z|\leq 1$ та нулем порядку $s$ у початку координат.
Наші основні результати уточнюють та узагальнюють деякі відомі раціональні нерівності.