Еквiвалентнiсть матриць у кiльцi M(n,R) та в його пiдкiльцях
DOI:
https://doi.org/10.37863/umzh.v73i12.6858Ключові слова:
кiльце матриць, пiдкiльце блочно-трикутних матриць, пiдкiльце блочно-дiагональних матриць, еквiвалентнiсть, нормальна форма Смiта.Анотація
УДК 512.64+512.55
Розглянуто еквiвалентнiсть матриць у кiльцi M(n,R) та в його пiдкiльцях MBT(n1,...,nk,R) блочно-трикутних i MBD(n1,...,nk,R) блочно-дiагональних матриць, де R комутативна область головних iдеалiв, та дослiджено їхнi зв’язки.
Встановлено, що коли блочно-трикутнi матрицi блочно дiагоналiзовнi, тобто еквiвалентнi до своїх головних блочних дiагоналей, то вони еквiвалентнi у пiдкiльцi MBT(n1,...,nk,R) блочно-трикутних матриць тодi i тiльки тодi, коли їх головнi блочнi дiагоналi еквiвалентнi у пiдкiльцi MBD(n1,...,nk,R) блочно-дiагональних матриць, тобто їхнi вiдповiднi дiагональнi блоки еквiвалентнi. Доведено також, що якщо блочно-трикутнi матрицi A i B з нормальними формами Смiта S(A)=S(B) еквiвалентнi до нормальних форм Смiта в пiдкiльцi MBT(n1,...,nk,R), то цi блочно-трикутнi матрицi еквiвалентнi i в пiдкiльцi MBT(n1,...,nk,R).
Посилання
A. Dmytryshyn, B. K˚agstr¨om, Coupled Sylvester-type matrix equations and block diagonalization, SIAM J. Matrix Anal. and Appl., 36, № 2, 580 – 593 (2015); https://doi.org/10.1137/151005907 DOI: https://doi.org/10.1137/151005907
W. E. Roth, The equations AX−YB=C and AX−XB=C in matrices, Proc. Amer. Math. Soc., 3, 392 – 396 (1952); https://doi.org/10.2307/2031890 DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1952-0047598-3
R. B. Feinberg, Equivalence of partioned matrices, J. Res. Natl. Bur. Stand., B, 80B, № 1, 89 – 97 (1976). DOI: https://doi.org/10.6028/jres.080B.015
W. H. Gustafson, Roth’s theorem over commutative rings, Linear Algebra and Appl., 23, 245 – 251 (1979); https://doi.org/10.1016/0024-3795(79)90106-X DOI: https://doi.org/10.1016/0024-3795(79)90106-X
N. S. Dzhaliuk, V. M. Petrychkovych, Solutions of the matrix linear bilateral polynomial equation and their structure, Algebra Discrete Math., 27, № 2, 243 – 251 (2019).
V. M. Bondarenko, Zobrazhennia helfandovykh hrafiv, Pratsi In-t matematyky NAN Ukrainy, Kyiv (2005).
V. V. Sergeichuk, Canonical matrices and related questions, Pratsi In-t matematyky NAN Ukrainy, Kyiv , 57 (2006).
I. Gohberg, P. Lancaster, L. Rodman, Matrix polynomials, Academic Press, New York (1982).
V. M. Petrychkovich, Cell-triangular and cell-diagonal factorizations of cell-triangular and cell-diagonal polynomial matrices, Math. Notes., 37, № 6, 431 – 435 (1985). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01157677
V. M. Petrychkovich, Uzahalnena ekvivalentnist matryts i yikh naboriv ta faktoryzatsiia matryts nad kiltsiamy, In-t prykl. probl. mekhaniky i matematyky NAN Ukrainy, Lviv (2015).
S. Chen, Y. Tian, On solutions of generalized Sylvester equation in polynomial matrices, J. Franklin Inst., 351, № 12, 5376 – 5385 (2014); https://doi.org/10.1016/j.jfranklin.2014.09.024 DOI: https://doi.org/10.1016/j.jfranklin.2014.09.024
F. Martins, E. Pereira, Block matrices and stability theory, Tatra Mt. Math. Publ., 38, 147 – 162 (2007).
M. Newman, The smith normal form of a partitioned matrices, J. Res. Natl. Bur. Stand., B. Math. Sci., 78B, № 1, 3 – 6 (1974). DOI: https://doi.org/10.6028/jres.078B.002
V. Petrychkovych, N. Dzhaliuk, Factorizations in the rings of the block matrices, Bul. Acad. ¸ Stiin¸te Repub. Mold. Mat., 85, № 3. 23 – 33 (2017).
V. Shchedryk, Arithmetic of matrices over rings, Pidstryhach Inst. Appl. Probl. Mech. Math. of NAS of Ukraine, Akademperiodyka, Kyiv (2021). DOI: https://doi.org/10.15407/akademperiodika.430.278
