Про одностайно неперервні сім’ї відображень метричних просторів

Є. О. Севостьянов; С. О. Скворцов; Є. О. Петров

doi:10.37863/umzh.v72i10.1075

Є. О. Севостьянов Житомир. держ. ун-т iм. I. Франка; Iн-т прикл. математики i механiки НАН України, Слов’янськ https://orcid.org/0000-0001-7892-6186
С. О. Скворцов Житомирський державний університет імені Івана Франка https://orcid.org/0000-0002-4978-8527
Є. О. Петров Інститут прикладної математики і механіки НАН України, м. Слов'янськ https://orcid.org/0000-0002-6902-9640

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v72i10.1075

Анотація

УДК 517.5

Отримано аналоги результатів про одностайну неперервність сімей квазірегулярних відображень, які не набувають значень з деякого континуума. Доведено, що вказані сім'ї є одностайно неперервними,
якщо характеристика квазіконформності відображень має скінченне середнє коливання в кожній внутрішній точці. Окремо досліджено випадок узагальнених квазіізометрій ріманових многовидів.

Посилання

O. Martio, S. Rickman, J. Väisälä,¨ Distortion and singularities of quasiregular mappings, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1, 465, 1 – 13 (1970). DOI: https://doi.org/10.5186/aasfm.1971.488

S. Rickman, Quasiregular mappings, Results Math. Related Areas (3), 26, Springer-Verlag, Berlin (1993), https://doi.org/10.1007/978-3-642-78201-5 DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-78201-5

J. Väisälä,¨ Lectures on $n$-dimensional quasiconformal mappings, Lect. Notes Math., 229, Springer-Verlag, Berlin etc. (1971). DOI: https://doi.org/10.1007/BFb0061216

M. Cristea, Open discrete mappings having local $ACL^n$ inverses, Complex Variables and Elliptic Equat., 55, № 1-3, 61 – 90 (2010), https://doi.org/10.1080/17476930902998985 DOI: https://doi.org/10.1080/17476930902998985

V. Ryazanov, E. Sevost’yanov, Toward the theory of ring $Q$-homeomorphisms, Israel J. Math., 168, 101 – 118 (2008), https://doi.org/10.1007/s11856-008-1058-2 DOI: https://doi.org/10.1007/s11856-008-1058-2

E. A. Sevost`yanov, О равностепенно непрерывных семействах отображений, не принимающих значения из переменного множества (Russian) [[O ravnostepenno neprery`vny`kh semejstvakh otobrazhenij, ne prinimayushhikh znacheniya iz peremennogo mnozhestva]], Ukr. mat. zhurn., 66, № 3, 361 – 370 (2014).

J. Heinonen, Lectures on analysis on metric spaces, Springer Science+Business Media, New York (2001), https://doi.org/10.1007/978-1-4613-0131-8 DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4613-0131-8

O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Moduli in modern mapping theory, Springer Science + Business Media, LLC, New York (2009).

D. P. Il`yutko, E. A. Sevost`yanov, Об открытых дискретных отображениях с неограниченной характеристикой на римановых многообразиях (Russian) [[Ob otkry`ty`kh diskretny`kh otobrazheniyakh s neogranichennoj kharakteristikoj na rimanovy`kh mnogoobraziyakh]], Mat. sb., 207, № 4, 65 – 112 (2016).

E. A. Sevost`yanov, О локальном и граничном поведении отображений в метрических пространствах (Russian) [[O lokal`nom i granichnom povedenii otobrazhenij v metricheskikh prostranstvakh]], Algebra i analiz, 28, № 6, 118 – 146 (2016).

E. A. Sevost’yanov, A. A. Markysh, On Sokhotski – Casorati – Weierstrass theorem on metric spaces, Complex Variables and Elliptic Equat., 64, № 12, 1973 – 1993 (2019), https://doi.org/10.1080/17476933.2018.1557155 DOI: https://doi.org/10.1080/17476933.2018.1557155

P. Montel`, Нормальные семейства аналитических функций (Russian) [[Normal`ny`e semejstva analiticheskikh funkczij]], ONTI NKTP SSSR, Moskva, Leningrad (1936).

M. Berzhe, Geometriya, t. 1, Mir, Moskva , (1984).

Y. Burtscher Annegret, Length structures on manifolds with continuous Riemannian metrics, New York J. Math., 21, 273 – 296 (2015), http://nyjm.albany.edu:8000/j/2015/21_273.html

J. M. Lee, Riemannian manifolds: an introduction to curvature, Springer, New York (1997), https://doi.org/10.1007/b98852 DOI: https://doi.org/10.1007/b98852

T. Adamowicz, N. Shanmugalingam, Non-conformal Loewner type estimates for modulus of curve families, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 35, no. 2, 609 – 626 (2010), https://doi.org/10.5186/aasfm.2010.3538 DOI: https://doi.org/10.5186/aasfm.2010.3538

G. Federer, Геометрическая теория меры (Russian) [[Geometricheskaya teoriya mery`]], Nauka, Moskva, (1987).

A. Grigor’yan, Isoperimetric inequalities and capacities on Riemannian manifolds. The Maz’ya anniversary collection, Vol. 1, 139 – 153 (1998); Oper. Theory Adv. and Appl., 109, Birkhauser, Basel (1999). ¨

K. Kuratovskij, Топология (Russian) [[Topologiya]], t. 2, Mir, Moskva (1969).

D. P. Il`yutko, E. A. Sevost`yanov, О граничном поведении открытых дискретных отображений на римановых многообразиях (Russian) [[O granichnom povedenii otkry`ty`kh diskretny`kh otobrazhenij na rimanovy`kh mnogoobraziyakh]], Mat. sb., 209, № 5, 3 – 53 (2018).

E. A. Poleczkij, Метод модулей для негомеоморфных квазиконформных отображений (Russian) [[Metod modulej dlya negomeomorfny`kh kvazikonformny`kh otobrazhenij]], Mat. sb., 83, № 2, 261 – 272 (1970).

R. R. Salimov, E. A. Sevost’yanov, The Poletskii and Väisälä inequalities for the mappings with ¨ $(p, q)$-distortion, Complex Variables and Elliptic Equat., 59, № 2, 217 – 231 (2014), https://doi.org/10.1080/17476933.2012.731397 DOI: https://doi.org/10.1080/17476933.2012.731397

E. A. Sevost’yanov, О равностепенной непрерывности гомеоморфизмов с неограниченной характеристикой (Russian) [[O ravnostepennoj neprery`vnosti gomeomorfizmov s neogranichennoj kharakteristikoj]], Mat. tr., 15, № 1, 178 – 204 (2012).

V. Ryazanov, S. Volkov, On the boundary behavior of mappings in the class $W^{1,1}_{rm loc}$ on Riemann surfaces, Complex Anal. and Operator Theory, 11, 1503 – 1520 (2017), https://doi.org/10.1007/s11785-016-0618-4 DOI: https://doi.org/10.1007/s11785-016-0618-4

E. Sevost’yanov, On boundary extension of mappings in metric spaces in the terms of prime ends, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 44, № 1, 65 – 90 (2019), https://doi.org/10.5186/aasfm.2019.4405 DOI: https://doi.org/10.5186/aasfm.2019.4405