Задача Боянова – Найденова для функций с несимметричными ограничениями на старшую производную

Анотація

Для заданих $r \in N , p, \alpha , \beta , \mu > 0$ розв’язано екстремальнi задачi $$\int^b_ax^q_{\pm} (t)dt \rightarrow \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}, q \geq p,$$ на класi пар $(x, I)$ функцiй $x \in L^r_{\infty}$ i вiдрiзкiв $I = [a, b] \subset R$ , для яких виконуються нерiвностi $\beta \leq x(r)(t) \leq \alpha$ майже для всiх $t \in R$, умови $L(x_{\pm})p \leq L\bigl(( \varphi^{\alpha ,\beta}_{\lambda ,r}) \bigr)_p$ та вiдповiдна умова $\mu\Bigl(\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \mathrm{p}_{[a,b]}x_{+}\Bigr) \leq \mu$ або $\mu \Bigl( \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \mathrm{p}_{[a,b]}x \Bigr) \leq \mu$, де $$L(x)p := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \Bigl\{ \| x\| L_{p[a,b]} : a, b \in R , | x(t)| > 0, t \in (a, b)\Bigr\},$$ $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \mathrm{p}_{[a,b]}x_{\pm} := \{ t \in [a, b] : x_{\pm} (t) > 0\} , \varphi^{\alpha ,\beta}_{\lambda ,r}$ — несиметричний $(2\pi /\lambda)$-перiодичний сплайн Ейлера порядку $r$. Як наслiдок розв’язано тi ж самi екстремальнi задачi для промiжних похiдних $x(k)_{\pm} , k = 1,..., r_1,$ при $q \geq 1$.