Задача Боянова – Найденова для дифференцируемых функций на оси и неравенства разных метрик

Анотація

УДК 517.5
Для заданих $r \in {\rm \bf N},$ $p,\lambda > 0$ i довiльного фiксованого вiдрiзка $[a, b]\subset {\rm \bf R}$ розв'язано екстремальну задачу $$ \int\limits_{a}^{b} |x(t)|^q dt \to \sup, \quad q\ge p, $$ на деякiй пiдмножинi функцiй $x\in L^r_{\infty}$ таких, що $$ \|x^{(r)}\|_{\infty} \le 1,\quad \|x\|_{p, \delta} \le \|\varphi_{\lambda, r}\|_{p, \delta}, \quad \delta \in (0, \pi/ \lambda], $$ де $$ \|x\|_{p, \delta}:=\sup \{ \|x\|_{L_p[a,\, b]}\colon a, \,b \in {\rm \bf R}, \; 0< b-a \le \delta \}, $$ а $\varphi_{\lambda, r}$ --- $(2\pi/\lambda)$-перiодичний сплайн Ейлера порядку $r.$ Як наслiдок розв'язано ту ж саму екстремальну задачу для промiжних похiдних $x^{(k)},$ $k=1,\ldots,r-1,$ при $q \ge 1.$ Крiм того, доведено нерiвностi рiзних метрик для величин $\|x\|_{p, \delta}.$