Неравенства для внутренних радиусов неналегающих областей

Анотація

УДК 517.54
Розглядається задача про максимум функціонала $$ r^\gamma(B_0,0)\prod\limits_{k=1}^n r(B_k,a_k), $$ де $B_{0},\ldots,B_{n},$ $n\geq 2,$ --- області в $\overline{\mathbb{C}},$ що взаємно не перетинаються, $a_0=0,$ $|a_{k}|=1,$ $k=\overline{1,n},$ і $\gamma\in(0, n]$ ($r(B,a)$ --- внутрішній радіус області $B\subset\overline{\mathbb{C}}$ відносно $a$). Потрібно показати, що максимум досягається при конфігурації областей $B_{k}$ і точок $a_{k},$ які мають $n$-кратну симетрію. В. М. Дубінін розв'язав її при $\gamma=1,$ Г. В. Кузьміна --- при $0<\gamma<1.$ Пізніше Л. В. Ковальов розв'язав цю задачу при $n\geq 5$ і додатковому припущенні, що кути між сусідніми відрізками $[0, a_{k}]$ не перевищують $2\pi / \sqrt{\gamma}.$ У статті цю задачу узагальнено на випадок довільного розташування систем точок на комплексній площині й отримано деякі оцінки функціонала для всіх $n$ і $\gamma\in(1,n].$