Кільця Безу стабільного рангу 1,5 та розкладність повної лінійної групи в добуток її підгруп

Анотація

Кольцо $R$ называется кольцом стабильного ранга 1,5, если для каждой тройки $a, b, c \in R, c \not = 0$, такой, что $aR + bR + cR = R$, существует такое $r \in R$, что $(a + br)R + cR = R$. Доказано, что коммутативная область Безу имеет стабильный ранг 1,5 тогда и только тогда, когда каждая обратимая матрица $A$ представима в виде $A = HLU$, где $L, U$ — элементы групп нижних и верхних унитреугольных матриц (треугольных матриц, с 1 на диагонали), а матрица $H$ принадлежит группе $$\bf{G} \Phi = \{ H \in \mathrm{G}\mathrm{L}n(R) | \exists H_1 \in \mathrm{G}\mathrm{L}_n(R) : H\Phi = \Phi H_1\},$$ где $\Phi = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (\varphi 1, \varphi 2,..., \varphi n), \varphi 1| \varphi 2| ... | \varphi n, \varphi n \not = 0$.