Нові нерівності для $p$-кутової відстані в нормованих просторах та їх застосування

Анотація

Для ненульових векторів $x$ та $y$ в лінійному нормованому просторі $(X, ‖ ⋅ ‖)$ можна визначити $p$-кутову відстань таким чином: $${\alpha}_p\left[x,y\right]:=\left\Vert {\left\Vert x\right\Vert}^{p-1}x-{\left\Vert y\right\Vert}^{p-1}y\right\Vert .$$ У роботі, зокрема, показано, що $$\begin{array}{l}{\alpha}_p\left[x,y\right]\le p\left\Vert y-x\right\Vert {\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left\Vert \left(1-t\right)x+ty\right\Vert}^{p-1}dt}\hfill \\ {}\kern3.36em \le p\left\Vert y-x\right\Vert \left[\frac{{\left\Vert x\right\Vert}^{p-1}+{\left\Vert y\right\Vert}^{p-1}}{2}+{\left\Vert \frac{x+y}{2}\right\Vert}^{p-1}\right]\hfill \\ {}\kern3.36em \le p\left\Vert y-x\right\Vert \frac{{\left\Vert x\right\Vert}^{p-1}+{\left\Vert y\right\Vert}^{p-1}}{2}\le p\left\Vert y-x\right\Vert {\left[ \max \left\{\left\Vert x\right\Vert, \left\Vert y\right\Vert \right\}\right]}^{p-1},\hfill \end{array}$$ для $p ≥ 2$ i будь-яких $x, y ∈ X$. Це покращує результат Малігранди [Simple norm inequalities // Amer. Math. Month. -2006. - 113. - P. 256-260], який встановив нерівність між першим та останнім членами вказаної оцінки. Також наведено застосування для функцій f, визначених степеневими рядами при оцінюванні більш загальної „відстані" $‖f(‖x‖)x − f(‖y‖)y‖$ для деяких $x, y ∈ X$.