Сингулярність та тонкі фрактальні властивості одного класу нескінченних згорток Бернуллі з суттєвими перекриттями. II

Анотація

Изучается лебеговская структура и тонкие фрактальные свойства бесконечных сверток Бернулли, т. е. распределений случайных величин вида $\xi=\sum_{k=1}^{\infty}\xi_ka_k$, где $\sum_{k=1}^{\infty}a_k$ — сходящийся знакоположительный ряд, а $\xi_k$ — независимые (вообще говоря, разнораспределенные) бернуллиевские случайные величины. Основное внимание в исследовании уделено на наименее исследованному классу — сверткам Бернулли с существенными перекрытиями, порожденными рядом $\sum_{k=1}^{\infty}a_k$, таким, что для любого $k\in \mathbb{N}$ существует $s_k\in \mathbb{N}\cup\{0\}$ такое, что $a_k = a_{k+1} = ... = a_{k+s_k} ≥ r_{k+s_k}$, причем $s_k > 0$ выполняется для неограниченного количества индексов $k$. В этом случае почти все (как в смысле меры Лебега, так и в смысле фрактальной размерности) точки спектра имеют континуальное количество различных представлений в виде $\xi=\sum_{k=1}^{\infty}\varepsilon_ka_k$, где $\varepsilon_k\in\{0, 1\}$.
Доказано, что вероятностная мера $\mu_\xi$ имеет или чисто дискретное, или чисто сингулярно непрерывное распределение. Установлены достаточные условия доверительности на спектре семейства цилиндрических отрезков, порожденные распределением случайной величины $\xi$. В случае сингулярности найдена явная формула для вычисления размерности Хаусдорфа соответствующей вероятностной меры, т. е. размерности Хаусдорфа – Безиковича минимальных (в смысле размерности) носителей меры $\mu_\xi$.