Неравенства для непериодических сплайнов на действительной оси и их производных

Анотація

Розв'язано наступні екстремальні задачі: 1) ${\left\Vert {s}^{(k)}\right\Vert}_{L_q\left[\alpha, \beta \right]}\to \sup$
2)${\left\Vert {s}^{(k)}\right\Vert}_{W_q}\to \sup$
на npocтopi всіх зсувів сплайнів порядку $r$ мінімального дефекту з вузлами в точках $lh, l ∈ Z,$ таких, що $L(s)_p ≤M$, у випадках: a)$k =0, q ≥ p >0$, б)$k =1, . . . , r −1, q ≥ 1$, де $[α, β]$ — довільний відрізок дійсної осі, $$L{(x)}_p:= \sup \left\{{\left\Vert x\right\Vert}_{L_p\left[a,b\right]}:a,b\in \mathbf{R},\kern0.5em \left|x(t)\right|>0,\kern0.5em t\in \left(a,b\right)\right\}$$ ${\left\Vert \cdot \right\Vert}_{W_q}$ — функціонал Вейля, тобто $${\left\Vert x\right\Vert}_{W_q}:=\underset{\varDelta \to \infty }{ \lim}\underset{a\in \mathbf{R}}{ \sup }{\left(\frac{1}{\varDelta }{\displaystyle \underset{a}{\overset{a+\varDelta }{\int }}{\left|x(t)\right|}^qdt}\right)}^{1/q}.$$ Зокрема, отримано деякі узагальнення нерівності Лигуна для сплайшв.