Узагальнена теорема Бомбієрі - Лагаріаса та узагальнений критерій Лі зі своєю арифметичною інтерпретацією

Анотація

Показано, що критерій Лі є еквівалентним гіпотезі Рімана, тобто твердження, що суми $${k}_n={\Sigma}_{\rho}\left(1-{\left(1-\frac{1}{\rho}\right)}^n\right)$$ нулях ріманової хі-функції та похідні $$\begin{array}{ccc}\hfill {\lambda}_n\equiv \frac{1}{\left(n-1\right)!}\frac{d^n}{d{z}^n}{\left.\left({z}^{n-1} \ln \left(\xi (z)\right)\right)\right|}_{z=1},\hfill & \hfill \mathrm{де}\hfill & \hfill n=1,2,3,\dots, \hfill \end{array}$$, є невід'ємними тоді і тільки тоді, коли справедлива гіпотеза Рімана, може бути узагальнене, а невід'ємність деяких похідних ріманової хі-функції, що оцінюються у довільній точці $a$, крім $a = 1/2$, може бути застосована, як критерій, еквівалентний гіпотезі Рімана. А саме, показано, що суми $${k}_{n,a}={\Sigma}_{\rho}\left(1-{\left(\frac{\rho -a}{\rho +a-1}\right)}^n\right)$$ для будь-яких дійсних a та будь-яких $a < 1/2$ є невід'ємними тоді і тільки тоді, коли справедлива гіпотеза Рімана (відповідно такі ж похідні з $a > 1/2$ повинні бути недодатніми). Наведено арифметичну інтерпретацію узагальненого критерію Лі. Подібно до критерію Лі теорема Бомбієрі та Лагаріаса, у застосуванні до деяких мультимножин комплексних чисел, також може бути узагальнена аналогічним чином.