$C2$ властивість стовпчикових скiнченних матричних кiлець

Анотація

Кільце $R$ називається правим $C2$ кільцем, якщо будь-який правий ідеал $R$, що є ізоморФним до прямого доданка в $R_R$, також є прямим доданком. Кільце $R$ називається правим $C3$ кільцем, якщо будь-яка сума двох незалежних доданків в $R_R$ також є прямим доданком. Відомо, що праве $C2$ кільце має бути правим $C3$ кільцем, але прoтилежне твердження є невірним. Кільце $R$ називається $J$ -регулярним, якщо $R/J(R)$ є регулярним у сенсі фон Ноймана, де $J(R)$ — радикал Якобсона для $R$. Нехай $ℕ$ — множина натуральних чисел, а $Λ$ — деяка нескінченна множина. Доведено, що наступні твердження є еквівалентними для кільця $R$:
(1) $ℂFMFM_{ℕ} (R)$ — праве $C2$ кільце;
(2) $ℂFMFM_{Λ}(R)$ — праве $C2$ кільце;
(3) $ℂFMFM_{ℕ}(R)$ — праве $C3$ кільце;
(4) $ℂFMFM_{Λ}(R)$ — праве $C3$ кільце;
(5) $ℂFMFM_{ℕ}(R)$ — $J$-регулярне кільце, а $M_n(R)$ — праве $C2$ (або праве C3) кільце для всіх цілих n > 1.