Крайность трансляционно-инвариантных мер Гиббса для модели Блюма–Капеля в случае “жезл” на дереве Кэли

Н. М. Хатамов

doi:10.37863/umzh.v72i4.2281

Н. М. Хатамов Наманган. держ. ун-т, Узбекистан https://orcid.org/0000-0002-2902-7982

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v72i4.2281

Ключові слова: дерево Келі, конфігурація, міра Гіббса

Анотація

УДК 517.98

Розглядаються трансляційно-інваріантні міри Гіббса для моделі Блюма–Капеля у випадку ,,жезл'' на дереві Келі порядку $k.$ Знайдено таке точне критичне значення $\theta_{cr} = 1,$ що при $\theta \geq\theta_{cr}$ існує єдина трансляційно-інваріантна міра Гіббса, а при $0<\theta<\theta_{cr}$ існують точно три трансляційно-інваріантні міри Гіббса у випадку ,,жезл'' для розглядуваної моделі. Крім того, вивчено задачу (не)крайності для цих мір.

Посилання

Kh.-O. Georgi, Гиббсовские меры и фазовые переходы (Russian) [Gibbsovskie mery` i fazovy`e perekhody`], Mir, Moskva (1992). https://www.twirpx.com/file/1900359/

Preston, Christopher J. Gibbs states on countable sets. Cambridge Tracts in Mathematics, No. 68. Cambridge University Press, London-New York, 1974. {rm ix}+128 pp. https://www.amazon.com/States-Countable-Cambridge-Tracts-Mathematics/dp/0521090113

Sinaĭ, Ja. G. Теория фазовых переходов. (Russian) [[Theory of phase transitions]] Строгие результаты. [Rigorous results] ``Nauka'', Moscow, 1980. 208 pp. https://www.twirpx.com/file/1449998/

N. M. Khatamov, Новые классы основных состояний для модели Поттса с рассеянными конкурирующими взаимодействиями на дереве Кэли (Russian) [[Novy`e klassy` osnovny`kh sostoyanij dlya modeli Pottsa s rasseyanny`mi konkuriruyushhimi vzaimodejstviyami na dereve Ke`li]], Teor. i mat. fizika, 180, No 1, 827 – 834 (2014). http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tmf&paperid=8637&option_lang=rus DOI: https://doi.org/10.4213/tmf8637

Külske, C.; Rozikov, U. A.; Khakimov, R. M. Description of the translation-invariant splitting Gibbs measures for the Potts model on a Cayley tree. J. Stat. Phys. 156 (2014), no. 1, 189--200. https://doi.org/10.1007/s10955-014-0986-y DOI: https://doi.org/10.1007/s10955-014-0986-y

N. M. Khatamov, Неединственность меры Гиббса для шаровой модели Изинга с радиусом взаимодействия два (Russian) [[Needinstvennost` mery` Gibbsa dlya sharovoj modeli Izinga s radiusom vzaimodejstviya dva]], Teor. i mat. fizika, 180, No 3, 318 – 328 (2014). http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tmf&paperid=8685&option_lang=rus DOI: https://doi.org/10.4213/tmf8685

¨Kulske, Christof; Rozikov, Utkir A. Fuzzy transformations and extremality of Gibbs measures for the Potts model on a Cayley tree. Random Structures Algorithms. 50 (2017), no. 4, 636--678. https://doi.org/10.1002/rsa.20671 DOI: https://doi.org/10.1002/rsa.20671

Rozikov, U. A.; Khakimov, R. M. Gibbs measures for the fertile three-state hard-core models on a Cayley tree. Queueing Syst. 81 (2015), no. 1, 49--69. https://doi.org/10.1007/s11134-015-9450-1 DOI: https://doi.org/10.1007/s11134-015-9450-1

N. N. Ganikhodzhaev, U. A. Rozikov, Описание периодических крайних гиббсовских мер некоторых решеточных моделей на дереве Кэли (Russian) [[Opisanie periodicheskikh krajnikh gibbsovskikh mer nekotory`kh reshetochny`kh modelej na dereve Ke`li]], Teor. i mat. fizika, 111, No 1, 109 – 117 (1997). http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tmf&paperid=993&option_lang=rus DOI: https://doi.org/10.4213/tmf993

Rozikov, Utkir A. Gibbs measures on Cayley trees. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2013. xviii+385 pp. ISBN: 978-981-4513-37-1 https://doi.org/10.1142/8841 DOI: https://doi.org/10.1142/8841

Cirillo, Emilio N. M.; Olivieri, Enzo. Metastability and nucleation for the Blume-Capel model. Different mechanisms of transition. J. Statist. Phys. 83 (1996), no. 3-4, 473--554. https://doi.org/10.1007/BF02183739 DOI: https://doi.org/10.1007/BF02183739

P. E. Theodorakis, N. J. Fytas, Monte Carlo study of the triangular Bluma – Capel model under bond randomness, Phys. Rev., 86, 011140 (2012). https://journals.aps.org/pre/abstract/10.1103/PhysRevE.86.011140

Hryniv, Ostap; Kotecký, Roman. Surface tension and the Ornstein-Zernike behaviour for the 2D Blume-Capel model. J. Statist. Phys. 106 (2002), no. 3-4, 431--476. https://doi.org/10.1023/A:1013797920029 DOI: https://doi.org/10.1023/A:1013797920029

N. M. Khatamov, G. T. Madgoziev, Меры Гиббса для обобщенной модели Поттса с радиусом взаимодействия два (Russian) [[Mery` Gibbsa dlya obobshhennoj modeli Pottsa s radiusom vzaimodejstviya dva]], Teor. i mat. fizika, 183, No 3, 450 – 459 (2015). http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tmf&paperid=8702&option_lang=rus DOI: https://doi.org/10.4213/tmf8702

Formentin, Marco; Külske, Christof. A symmetric entropy bound on the non-reconstruction regime of Markov chains on Galton-Watson trees. Electron. Commun. Probab. 14 (2009), 587--596. https://doi.org/10.1214/ECP.v14-1516 DOI: https://doi.org/10.1214/ECP.v14-1516

Kesten, H.; Stigum, B. P. Additional limit theorems for indecomposable multidimensional Galton-Watson processes. Ann. Math. Statist. 37 (1966), 1463--1481. https://doi.org/10.1214/aoms/1177699139 DOI: https://doi.org/10.1214/aoms/1177699139

Martinelli, Fabio; Sinclair, Alistair; Weitz, Dror. Fast mixing for independent sets, colorings, and other models on trees. Random Structures Algorithms. 31 (2007), no. 2, 134--172. https://doi.org/10.1002/rsa.20132 DOI: https://doi.org/10.1002/rsa.20132

U. A. Rozikov, R. M. Khakimov, Крайность трансляционно-инвариантной меры Гиббса для HC-модели на дереве Кэли (Russian) [[Krajnost` translyaczionno-invariantnoj mery` Gibbsa dlya HC-modeli na derven Ke`li]], https://arxiv.org/pdf/1610.04755.pdf , [math-ph].

U. A. Rozikov, R. M. Khakimov, Kh. F. Khajdarov, Крайность трансляционно-инвариантных мер Гиббса для модели Поттса на дереве Кэли (Russian) [[Krajnost` translyaczionno-invariantny`kh mer Gibbsa dlya modeli Pottsa na dereve Ke`li]], Teor. i mat. fizika, 196, No 1, 117 – 134 (2018). http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tmf&paperid=9448&option_lang=rus DOI: https://doi.org/10.4213/tmf9448

N. M. Khatamov, R. M. Khakimov, Translation-invariant Gibbs measures for the Blume – Kapel model on a Cayley btree, Zhurn. mat. fiziki, analizu, geometriyi, 15, no. 2, 239 – 255 (2019). http://jmage.ilt.kharkov.ua/jmag/pdf/15/jm15-0239e.pdf