Strongly $P$ -clean and semi-Boolean group rings

D. Udar; R. K. Sharma; J. B. Srivastava

D. Udar Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
R. K. Sharma Indian Inst. Technology, Delhi, India
J. B. Srivastava Indian Inst. Technology, Delhi, India

Анотація

Кільце $R$ називається чистим (відповідно, однозначно чистим), якщо кожний його елемент допускає (однозначне) зображення у вигляді суми ідемпотента та одиниці. Кільце $R$ називається сильно P-чистим, якщо кожний його елемент допускає зображення у вигляді суми ідемпотента та сильно нільпотентного елемента, що комутують. Клас сильно P-чистих кілець є підкласом класів напівбулевих та сильно нульових чистих кілець. Кільце $R$ називається напівбулевим, якщо $R/J(R)$ є булевим, а ідемпотенти піднімають по модулю $J(R),$ де $J(R)$~--- радикал Джекобсона для $R.$
Клас напівбулевих кілець лежить точно між класами однозначно чистих та чистих кілець.
Отримано повну характеризацію сильно P-чистих групових кілець. Доведено, що групове кільце $RG$ є сильно P-чистим тоді і тільки тоді, коли $R$ є сильно P-чистим, а $G$~--- локально скінченна 2-група.
Крім того, вивчаються також напівбулеві групові кільця. Доведено, що у випадку, коли групове кільце $RG$ є напівбулевим, $R$ --- напівбулевим кільцем, а $G$ --- 2-групою, обернене твердження є справедливим, якщо $G$ є локально скінченною та розв'язною або ж FC-групою.

Посилання

Chen H., K¨ose H., Kurtulmaz Y. Strongly P-clean rings and matrices // Int. Electron. J. Algebra. – 2014. – 15. –

P. 116 – 131.

Chen J., Nicholson W. K., Zhou Y. Group rings in which every element is uniquely the sum of a unit and an

idempotent // J. Algebra. – 2006. – 306. – P. 453 – 460.

Connell I. G. On the group ring // Canad. J. Math. – 1963. – 15. – P. 650 – 685.

Diesl A. J. Nil clean rings // J. Algebra. – 2013. – 383. – P. 197 – 211.

ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12

D. UDAR, R. K. SHARMA, J. B. SRIVASTAVA

Ko¸san T., Wang Z., Zhou Y. Nil-clean and strongly nil-clean rings // J. Pure and Appl. Algebra. – 2016. – 220, № 2. –

P. 633 – 646.

Lam T. Y., First A. Course in noncommutative rings. – Second ed. – New York: Springer-Verlag, 2001.

McGovern W. Wm., Raja S., Sharp A. Commutative nil clean group rings // J. Algebra and Appl. – 2015. – 14, № 6. –

p.

Nicholson W. K. Local group rings // Canad. Math. Bull. – 1972. – 15, № 1. – P. 137 – 138.

Nicholson W. K. Lifting idempotent and exchange rings // Trans. Amer. Math. Soc. – 1977. – 229. – P. 269 – 278.

Nicholson W. K., Zhou Y. Rings in which elements are uniquely the sum of an idempotent and a unit // Glasg. Math.

J. – 2004. – 46. – P. 227 – 236.

Nicholson W. K., Zhou Y. Clean general rings // J. Algebra. – 2005. – 291. – P. 297 – 311.

Passman D. S. The algebraic structure of group rings. – New York: John Wiley and Sons, 1977.

Wang Z., Chen J. L. 2-Clean rings // Canad. Math. Bull. – 2009. – 52, № 1. – P. 145 – 153.

Zhou Y. On clean group rings // Adv. Ring Theory, Trends Math. – Basel: Birkh¨auser, 2010. – P. 335 – 345.

Received 07.06.16

Сильно $P$ -чистi та напiвбулевi груповi кiльця

Анотація

Посилання